経済数学の利潤最大化問題とは？

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このQ&Aのポイント
  • 経済数学の利潤最大化問題は、企業が投入要素を最適に配分して利潤を最大化する問題です。
  • この問題を解くためには、生産関数の性質や企業のプライステイカーとしての条件を考慮する必要があります。
  • そして、解析的な手法を用いて利潤を最大化させる投入要素の投入量を求めることができます。
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  • ベストアンサー

経済数学の利潤最大化問題です。

ある企業の利潤最大化問題を考える。 投入要素 x ≥ 0, y≥ 0,から、生産財を生産する。 企業の生産関数 F(x, y, z) = √x + √y + √xy　である。 １）Fが凹関数であることを示す。 ２）生産財価格が p = 1, 投入要素 x, y の単位当たり購入費用が、px > 0, py > 0 で、企業がプライステイカーであると仮定して利潤最大化問題の定式化。 ３）２で定式化した利潤最大化問題を解き、企業の利潤を最大化させる投入要素の投入量を求める。ただし、4pxpy − 1 > 0 である。 の解き方がわかりません。図書館等で調べてみましたがうまく解けませんでした。助けてください;;

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.3

前の回答には計算間違えがあったので、別解を書く。 いま、√x=X, √y=Yとおくと F(x,y)=√x+√y+√xy =X+Y+XY となる。利潤をΠと書くと Π= X+Y+XY - PxX^2 - PyY^2 となる。利潤最大化の1階の条件は ∂Π/∂X =∂Π/∂Y = 0 より 1+Y - 2PxX = 0 および 1+X - 2PyY =0 である。これらを連立させてXとYを求めると X = (2Py + 1)/(4PxPy - 1) Y = (2Px + 1)/(4PxPy - 1) となる(確かめよ！）。x =X^2, y=Y^2だから、これらより x = (2Py + 1)^2/(4PxPy - 1)^2 y = (2Px + 1)^2/(4PxPy - 1)^2 が求めるｘとｙの最適投入量だ。 Ｆ(x,y)が凹関数であることはどうやって導く？

12345001
質問者

補足

回答03> ご丁寧にありがとうございます。 連立方程式の処理だけ理解できなかったためさらに質問させてください。 連立方程式を解く際に X=2PyY-1 を 1+Y-2PxX=0 に代入すると 2Px+1=4PxPyY+Y となり、ここからの処理がわかりません。

その他の回答 (4)

回答No.5

>連立方程式を解く際に X=2PyY-1 を 1+Y-2PxX=0 に代入すると 2Px+1=4PxPyY+Y となり、ここからの処理がわかりません。 あなたは移行するとき符号を間違えているようですね。1番目の式を2番目の式のXに代入すると 1+Y-2Px(2PyY-1)=0 1+Y-4PxPyY +2Px = 0 左辺の第2項と第3項のYを括ると 1 + Y(1-4PxPy) + 2Px=0 1+2Px = Y(4PxPy-1) となるが、ここまでいいですか？ 両辺を4PxPy-1で割ると Y= (1+2Px)/(4PxPy -1) と、求める式を得る。Xについては、XとYは対称的なの求まったYの値をわざわざ第1式に代入しなくても直ちに求まる。

12345001
質問者

お礼

ありがとうございます!! 理解出来ました!!

回答No.4

以前の回答への注記です。 ΠをXとYで微分して０とおいて最大化の1階の条件を求めましたが、もちろん、ｘとｙで微分して0と置いても同じ結果が得られる。 ∂Π/∂x＝∂Π/∂X・∂X/∂x＝０ となりますが、∂X/∂x=(1/2)/√x >0ですから、結局 ∂Π/∂x＝０⇔∂Π/∂X＝０ 同様に、 ∂Π/∂y＝０⇔∂Π/∂Y＝０ となるので、∂Π/∂x＝∂Π/∂y＝０を解いて得る結果は∂Π/∂X＝∂Π/∂Y=0を解いて得る結果と同じになるのです。なお、∂Π/∂x＝∂Π/∂X・∂X/∂xを合成関数の微分と呼びます。したがって、前に求めたｘとｙについての最適値の答えは正しいのです。

回答No.2

√xy=[x^1/2 + y^1/2 -(x +y)]/2 となることを用いると（なぜ？）、便利。すると F(x,y) = [3(x^1/2 + y^1/2) - (x+y)]/2 となる。利潤をΠとおくと Π = F(x,y) - Px・x - Py・y をｘとｙについて最大化する。1階の条件は ∂Π/∂x=∂Π/∂y =0 だ。F(x,y)を上のように変形したあとで、Πをxとyについて微分して０とおくと ∂Π/∂x=(3/4)(1/x^1/2) - 1 /2 - Px = 0 ∂Π/∂y=(3/4)(1/y^1/2) - 1/2 - Py = 0 となるので、ｘとｙの最適値は簡単に求まる。計算を確かめてください。 F(x,y)が凹関数であることはどうやって確かめる？

回答No.1

最初にあなたの数式のチェック。 企業の生産関数 F(x, y, z) = √x + √y + √xy　である。 とあるが、企業の生産関数は z=F(x,y)=√x +√y+√xy の間違いではないか？あなたのF(x,y,z)関数の右辺にはｚは存在していない。ｚはインプットではなく、アウトプットではないの？

12345001
質問者

補足

回答No.1 問題文はそのまま書きましたので、恐らく問題側のミスだと思います。 私は F(x,y)=√x +√y+√xy と捉えて解いておりました。

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