利潤最大化 費用最小化について

質問

利潤最大化と費用最小化について質問です。
お恥ずかしいですが、ぜひよろしくお願いします。

正直に混乱しています。
例えば
y＝K^aL^1-a 利子率r 賃金率w C＝rK＋wL
企業の生産量がy 1単位当たりの価格P
以上のようにある時の利潤を最大化する最適労働量と最適資本量を求めよという問題です。
最初、利潤最大化なのでΠ＝の式を作りましたがLが消えました。ですので費用最小化の式で解いたら、それが正解でした。 L＝((1-a)r/aw)^a y

次にY＝K^1/3 L^1/3
資本1単位あたりr 労働1単位あたりw
生産物の価格は30
この企業の利潤Πを最大化する最適労働投入量と最適資本投入量を求める問題です。
これも利潤最大化なのでΠ＝の式を作りました。
答えがL＝1000/rw^2 K＝1000/r^2w
となりそれが正解でした。

どちらも利潤最大化と書かれているのにも関わらず片方は費用最小化問題、もう片方は利潤最大化問題となるのはどういうことでしょうか？
無知ですいませんが、ぜひ教えて頂けないでしょうか？

回答No.5

statecollege · ベストアンサー

納得されているように見えないのではっきり書きましょう。

>y＝K^aL^1-a 利子率r 賃金率w C＝rK＋wL
企業の生産量がy 1単位当たりの価格P
以上のようにある時の利潤を最大化する最適労働量と最適資本量を求めよという問題です。
最初、利潤最大化なのでΠ＝の式を作りましたがLが消えました。ですので費用最小化の式で解いたら、それが正解でした。 L＝((1-a)r/aw)^a y

とありますが、この問題（一番目の問題）で「正解」とされているものは正しくありません！少なくとも、正確ではありません。正確な答えを求めるなら、No.2で示したように、３つのケースに分けて書く必要がある、ということです。利潤最大化要素投入量は、生産物価格ｐと要素価格ｒ、ｗとの関係が示されていないと、正しい答えとはいえない、ということです。もう一度書くと、最適労働投入量L（最適資本投入量Kは同様なので省略）は、cをNo.2で示したように定義すると、

p < c ならば、L = 0
p = cならば、L＝y[ (1-a)r/aw]^a, yは非負の任意の値
p > cならば、（最適の）Lは存在しない

と書くのが正しい答えです。

回答No.4

statecollege

訂正。
＞たとえば、規模に関して収穫一定である最初のほうの生産関数
Y = K^1/3・L^1/3
の下でも、労働の限界生産性
∂Y/∂L = (1/3)L^(-2/3)・K^1/3
はLの増加とともに減少するので、「収穫逓減」するのです

⇒
たとえば、規模に関して収穫一定である最初のほうの生産関数
Y = K^a・L^(1-a)
の下でも、労働の限界生産性
∂Y/∂L = (1-a)L^(-a)・K^a
はLの増加とともに減少するので、「収穫逓減」するのです

と直してください。

回答No.3

statecollege

>私が質問した1つめの問題の場合、収穫一定になるので利潤最大化問題。 質問の二つ目は収穫逓減になるので費用最小化問題で解くという解釈で間違えないでしょうか？

そんなことは言っていません。その前に、注意。「規模に関する収穫一定（逓減）」と単なる「収穫一定（あるいは逓減）」は別物なので、「規模に関する」という言葉をつけてください。通常「収穫逓減」という言葉は、KとLの生産要素を使ってある生産物を生産しているとき、一方の要素（たとえばK)を一定に保ったまま、Lだけを増やしていくと、Lの限界生産性は減少することをいいます。たとえば、規模に関して収穫一定である最初のほうの生産関数
Y = K^1/3・L^1/3
の下でも、労働の限界生産性
∂Y/∂L = (1/3)L^(-2/3)・K^1/3
はLの増加とともに減少するので、「収穫逓減」するのです。

本題に戻りましょう。２番目の生産関数は「規模に関して収穫逓減」の生産関数です（チェックされたでしょうか？）この場合には、価格Pと要素価格ｒ、ｗが与えられたとき利潤最大産出量は一意に存在する（したがって、利潤最大化要素投入量も一意に存在する）。したがって、あなたが解いたように、
Π = PK^1/3L^1/3 - rK -wL
とおいて、KとLについての利潤最大化一階の条件
0 = ∂Π/∂K = ∂Π/∂L
をKとLについて解いて利潤最大化要素投入量を直接解くことができます。
あるいはもう一つの、以下の２つのステップをとる方法があります。
（１）費用関数を求める
min C=rK+wL
s.t.
Y= K^1/3・L^1/3
の費用最小化問題を解くことで、費用関数C=C(Y)を見つける。
（２）P=MCを用いて利潤最大化産出量を求める
価格＝限界費用、つまりP =MCを解くことで、利潤を最大化するYをみつける。ただし、MC≡C'(Y)であり、(1)で求めた費用関数をYについて微分することで得られる。このYが見つかったら、(1)の途中で得られた費用最小化要素投入量の式の右辺、のYにここで求めたYの値を代入する。
この別解（まず費用最小化要素投入量を求める方法）によっても同じ解に到達するので、確かめてください。
　一番目の問題、つまり生産関数が規模に関して収穫一定の場合。このときは、回答No.2で示したように、利潤最大化産出量、したがって利潤最大化要素投入量が一意に存在しないのです。したがって、利潤最大化要素投入量を直接求める方法はうまくいかないのです。したがって、もう一つの、2ステップ法ーまず、最小費用投入量を見つけることで費用関数を求め、ついでそれを用いて利潤最大化産出量を求める方法をとらざるを得ない、ということです。それは私の回答No2で示しました。

回答No.2

statecollege

あなたの質問は私が以前回答したこの質問

　　http://okwave.jp/qa/q9214374/a25679290.html

と関係があります。
Y = K^aL^(1-a)
(ただし、0 < a < 1)
のような生産関数をコブ・ダグラス生産関数といいます。このもとで、最小費用労働投入量と資本投入量を求めると、あなたが計算したように
L = Y[((1-a)/a)(r/w)]^a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
K = Y[(a/(1-a))(w/r)]^(1-a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊＊）
を得る。これらを等費用曲線C = rK + wLに代入するなら、費用関数（費用曲線）
C = cY
を得る、ただし、
c ≡ [((1-a)/a)(r/w)]^a + [(a/(1-a))(w/r)]^(1-a)
である。したがって、この企業の利潤Πは
Π＝ｐY - C = (p-c)Y
で与えられるから、
p < cならば、Yを正の値を選ぶと、損失が出るので、利潤最大化（つまり損失最小化）を目指す生産者はY=0を選択し、Π＝０
p > cならば、生産すればするほど利潤は増えるので、Yは無限大（最適なYは存在しない）、そのときのΠも無限大になる。
p = cならば、Yとしてどんな値を選択してもΠ＝０。最適なYは不決定（生産量はゼロから∞までの任意の値）
となる。第1番目の状況下では、最適（利潤最大化）のKとLの値はいずれもゼロであることはいうまでもない。第２番目の状況下では最適なKとLの値は無限大（数学的には最適値は存在しない）。
第３番目の状況下では、最適（利潤最大化）のKとLの値は（＊）と（＊＊）によって与えられる。ただし、Yは任意だから最適値はYに依存して無数にある。

答えは厳密書くと以上のようになります。
このような結果は生産関数がコブダグラス型の
Y=K^aL^(1-a)
に特殊なのではなく、規模に関して収穫一定の生産関数のもとでは同じ結果になります。なお、規模に関して収穫一定とは、生産関数Y=ｆ(K,L)が任意の正の定数をtとすると、要素投入量KとLをt倍すると、産出量Yもt倍になる、つまり、tY = tf(K,L) = f(tK, tL)という関係が成り立つときをいいます。コブダグラス型生産関数が規模に関して収穫一定であることを確かめてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解力がなくてすいませんが、もし間違っていましたらご教授ください。
私が質問した1つめの問題の場合、収穫一定になるので利潤最大化問題。 質問の二つ目は収穫逓減になるので費用最小化問題で解くという解釈で間違えないでしょうか？

回答No.1

f272

初めの問題はyとPが与えられているので収入は固定です。このときに利潤を最大化すると言うのは，すなわち費用を最小化することにほかなりません。
後の問題は，生産量YはKとLの関数であって変化します。