経済数学の利潤関数などに関する問題について

質問

ある企業の労働投入量と資本投入量をそれぞれLとKで表す。この企業の売り上げを与える関数がR(L、K)＝７５＋２８L－L＾２＋２３K－K＾２であり、費用を与える関数がC（L、K）＝18L＋３Kであるものとして以下の問いに答えよ。

（１）この企業の利潤を与える関数π（L,K）を求めよ。
（２）変数L,K及び（１）で求めた関数を用いて、この企業の利潤の極値を実現する「労働投入量と資本投入量の組み合わせ」が満たすべき１階の条件を具体的に示せ。
（３）（２）で具体的に示した１階の条件を満たす「労働投入量と資本投入量の組み合わせ」全てを求めよ。

という問題なのですが、（１）の答えは単純にR（L、K）からC(L、K)を差し引いたもので合っているのでしょうか？そうだったとして、その次の（２）の１階の条件を求めるのには微分が必要だと思うのですが、記号が複数ある時の微分のやり方がいまいち分からず進めずにいます。

お時間のある方、（１）～（３）の具体的な解き方を解説して頂けるとありがたいです。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

(1)はあなたの言う通りです。
(2)変数が２つあるときは、単なる微分ではなく偏微分という概念が必要です。たとえば、関数

　z = f(x,y)

においてｚの最大化の一階の条件は

∂z/∂ｘ　= 0
∂z/∂y　= 0

で与えられます。ここで、∂z/∂ｘはｆｘ（ｘ、ｙ）（最初のｘはｆへの添え字）とも書き、関数ｚ＝ｆ（ｘ、ｙ）のｘについての偏微分といい、ｙを一定と置いて、ｘについて微分した式（関数）であり、同様に∂z/∂ｙはfy(x,y)とも書き、z=f(x,y)のｙについての偏微分である。ｘとｙの最適値を求めるためにはこれらの一階の条件をｘとｙについて連立して解けばよいのです。

π（K,L)を求めたら、KとLについて偏微分し、1階の条件を求め、それらをKとLについて解けばよい。

お礼

ありがとうございました。これを元に他の問題も解いてみようと思います。