需要関数の求め方について

質問

初めて質問します。ミクロ経済の問題がわからなくなったので教えてください。

生産関数がコブダグラス型生産関数Y=K^1/3L^1/3であるとする。（Y生産量、K資本、L労働量）
生産者は利潤最大化を目指している。
生産物価格が6、資本賃貸率が3、名目賃金率が1のときの下記のそれぞれの値を求めなさい。

1.資本と労働の需要関数
2.供給関数
3.利潤関数

答え
1.K＝8/9、L＝8/3
2.4/3
3.8/3

労働の限界生産力１、資本の限界生産力３までは出しましたが、そこからどう解くのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

statecollege

質問はもった正確に書きましょう。求めるのは
1.資本と労働の需要関数
2.供給関数
3.利潤関数
ではなく、
１．（当該生産者の）資本と労働の需要量
２．（当該生産者の）生産量（供給量）
３.（当該生産者の）利潤量
でしょう？（違いは分かりますか？）

いま、利潤をΠと書くと
Π＝6K^1/3L^1/3 - 3K -L　　　　　　　　　　　（＋）
となる。Πを最大化するKとLを求めるためには、ΠをそれぞれKとLで（偏）微分して０とおく。
0 = ∂Π/∂K=2K^(-2/3)L^1/3 - 3 　　　　 (*)
0=∂Π/∂L=2K^1/3L^(-2/3) -1 　　　　 (**)
となる。これらより
K/L =3
よって
K=3L
L= (1/3)K
を得る。(*)に代入すると
2K^(-1/3)(3^1/3) = 3
この式の両辺を3乗すると、
K^-1 = 9/8
K=8/9
と答えを得る。同じようにL=K/3を(**)に代入し、整理すると
L=8/3
を得る（確かめてください！）
このときの供給量を求めるためにはいま求めたKとLの値を生産関数
Y=K^1/3L^1/3
の右辺に代入すればY=4/3が求まるし、利潤を求めるためには、利潤関数（＋）の右辺にKとLの値を代入すればよい。Π＝8/3を得る。
このようになることを確かめてください！！！