経済学でコブダグラス型生産関数というのがあります。Y=AK^αL^(1

質問

経済学でコブダグラス型生産関数というのがあります。Y=AK^αL^(1-α)です。αはよく分配率と言っています。ここでギモンなのですが、何故、αも(1-α)もべき乗しているのでしょうか。

直感的に、資本・労働に分配率をかけるのであれば、Y=A×α×K×L×(1-α)になると思うのですが。確かに対数をとれば左の様なしきになります。もしかしたら、元は対数の式で、それを指数の式に直したので、Y=AK^αL^(1-α)となったのでしょうか。

何故、αも(1-α)もべき乗しているのでしょうか、数学、経済的な意味も絡んでくるかもしれませんが、噛み砕いた説明をお願いしたします。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>Y=AK^αL^(1-α)

の形ですと、K と L をそれぞれ x 倍したときの Y (= Y') は
Y' = A (x K)^α (x L)^(1 - α)
　　= A x^α K^α x^(1 - α) L^(1 - α)
　　= x A K^α L^(1 - α)
　　= x Y
で、元の Y の x 倍です。これは、例えばまったく同じ工場を二つ作った場合（x = 2 の場合）、その合計生産量は工場ひとつの生産量の２倍である、ということを表しています。

これに対して、質問者さんの式のように Y が K と L の積に比例していると、K と L をそれぞれ x 倍したときの Y (= Y') は
Y' = x^2 Y
となって、まったく同じ工場を二つ作った場合の合計生産量は、工場ひとつの場合の４倍になります。

両者を比べると、素人の私には、前者の方が自然であるように思えます。

なお、α の意味については、次が参考になるのではないでしょうか。
http://mediaislandr.org/pdf/cdfunc_ver2.pdf

お礼

ナント、わかりやすく説明していただきありがとうございました。数学的にも解決しました。高2の基礎解析の指数の知識ですね。ご紹介いただいたサイトの1ページで理解できました。

お恥ずかしい話ですが、私は1955～71年までの日本のIS－LM、AD-AS曲線をエクセルで算出したにも関わらず、このようなギモンに最近至り、考えていました。

いやスカッとしました、ありがとうございました。m(_._)m

回答No.3

ur2c

まちがえました。

誤: Y = dQ/dt = 期間 dt に生産される製品の量

ではなく

正: Y = dQ = 期間 dt に生産される製品の量

ですね。微分方程式は

Y = f(K,L) dt
dQ/dt = f(K(t),L(t))

で、普通は dt を 1 期とするわけです。

回答No.2

ur2c

「噛み砕いた説明」にはならない蛇足です。

いろんな説明ができます。どれが納得しやすいかは、その人の background によります。私にとっては「Cobb-Douglas は未知関数の、対数空間における線形近似だ」という説明で、以下です。

0 < Y = 単位期間に生産される製品の量
0 < K = 資本の量
0 < L = 労働の量
0 < f = 滑らかな未知関数

で、

Y = f(K,L)

です。出て来る量はみな正なので、この式は

log Y = log g(log K, log L)

とも書けます。これを Taylor 展開すると

log Y =
log g(log K_0, log L_0) +
{(d log g)/(d log K)}(log K_0, log L_0) (log K - log K_0) +
{(d log g)/(d log L)}(log K_0, log L_0) (log L - log L_0) + ...

これを 1 次で打ち切って K_0 = L_0 = 1 にとれば

log Y = log A + a log K + b log L

と書け、更に a + b = 1 つまり「原料は資本と労働しかない」とすれば

Y = A K^a L^(1-a)

結局 a,b は対数空間における log g の (1,1) における接平面の log K, log L 方向の傾きです。

このように理解しておくことの利点は、「f の具体的な形がわからなくても、Cobb-Douglas は、とにかく対数空間でその線形近似にはなってる」と安心できることです。

理系あがりの私にとってこの説明が納得しやすいのは、Cobb-Douglas を生物学によく出て来る power law （冪乗則）の特殊な場合として位置づけているからです。このことは

t = 時間
dt = ある短い時間
Q = 時刻 t までに生産された製品の量
Y = dQ/dt = 期間 dt に生産される製品の量
K(t) = 資本の量は時間の関数
L(t) = 労働の量は時間の関数

として、微分方程式を表しているのだと思えば、はっきりします。