経済数学の利潤最大化の問題について

質問

ある企業は賃金1000円で労働者を雇い、単価10000円の財を生産しており、この企業の生産関数はy=Ｌ0.5(＊Ｌの0.5乗です)（ｙ：生産量、Ｌ：労働量）である。

（１）利潤最大化のための一階の条件を満たす生産量を求めよ

という問題で、解答を見ると「この企業の生産関数がｙ＝Ｌ0.5であることから、この企業の利潤関数はπ（Ｌ）＝１００００ｙ－１０００ｙ2（←２乗）である。」とあるのですが、これがどうしてこうなるのかが良く分かりません。利潤関数はπ＝収入関数－費用関数の筈なので、１００００ｙは理解できるのですが、１０００ｙ２のｙの２乗部分は何処から出てきたのでしょうか？

すごく初歩的な質問と思いますがどなたかお願いいたします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

まず、ｙ＝Lの0.5乗は、このサイトでは、ｙ = L^0.5 = L^(1/2) =√Lと表わします。これより、両辺を2乗すると

(1) 　L = y^2

となる。利潤は収入と費用（賃金費用だけ）の差だから

(2) π= 10000y - 1000L = 10000y - 1000y^2

となる（右辺のLに（１）を代入し、Lを消去した）。利潤最大化生産量をす得るためには、ｄπ/dy = 0を求めればよい。

　なお、Lを消去する代わりに、ｙを消去しても、同じ結果が得られることはいうまでもないでしょう。　(2)の右辺のｙのところに、y=L^0.5を代入するのです。すると、

π = 10000√L- 1000L

この場合は、両辺をLで微分して０とけばよい。利潤最大化雇用量Lが求まるので、それをｙ＝√Lの右辺に代入すれば、利潤最大化生産量が求められる。

お礼

数学は得意な方ではないのですいません。言われてみると確かにすごく単純な話でそれで済んで逆に良かったです。丁寧な解説をありがとうございました。

回答No.2

statecollege

>すごく初歩的な質問と思いますがどなたかお願いいたします

ええ、そうです。あなたが理解できていないのは

ｙ = L^0.5 = L^(1/2) =√L　⇒　y^2 = L

が成り立つこと、つまり、⇒の左側の式の両辺を2乗すると、⇒の右側の式が得られるという中学生がわかることが理解できていないことです。