ラグランジュ乗数法による利潤最大化条件の導出
- ラグランジュ乗数法を用いて、利潤最大化条件が要素価格 = 限界生産力価値であることを示す問題。
- 制約条件付き利潤最大化問題を最終的に要素価格と生産要素量の関係式に導く。
- 具体的には要素価格の計算を行い、結果を利用して利潤最大化条件を示す。
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ラグランジュ乗数法による利潤最大化条件の導出
「生産関数が次のようなコブ=ダグラス型であると仮定する。 x = l^a k^(1-a) (0≦a≦1） このとき、ラグランジュ乗数法を用いて、利潤最大化条件が 要素価格 ＝ 限界生産力価値 であることを示せ。」という問題で、まず制約条件付き利潤最大化問題を max px - w1l - w2l s.t. x = l^a k^(1-a) と置きました（w1, w2 はそれぞれ要素価格）。計算を進めると、最終的に w1 = pa (k/l)^(1-a) w2 = p(1-a) (k/l)^a となったのですが、これをどうやって w1 = pMPl, w2 = pMPk のかたちにもっていくのでしょうか。
- ykyk0172
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- 経済学・経営学
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あなたの答えで、すでに要素価格＝限界生産力価値のかたちになっているではありませんか！ あたえられたコブダグラス生産関数をｌで偏微分すると、ｌの限界生産物(限界生産力）は MPl = ∂x/∂l = al^(-(1-a)・k^(1-a) = a(k/l)^(1-a) よって、pMPl = pa(k/l)^(1-a) となります。ただし、ｋの限界生産力価値は、MPｋ = ∂ｘ/∂ｋ = (1-a)l^a・k^(-a) = (1-a)(l/k)^a = (1-a)(k/l)^(-a)より pMPk = p(1-a)(k/l)^(-a) となります。これをみるとわかるように、あなたのｗ２ = p(1-a)(k/l)^aの右辺の指数部分はaではなく、-aとなるはずです。計算をもう一度確かめてください！
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