ラグランジュ乗数法による利潤最大化条件の導出

質問

「生産関数が次のようなコブ=ダグラス型であると仮定する。
　　　　x = l^a k^(1-a) (0≦a≦1）
このとき、ラグランジュ乗数法を用いて、利潤最大化条件が
　　　　要素価格　＝　限界生産力価値　
であることを示せ。」という問題で、まず制約条件付き利潤最大化問題を
　　　　max px - w1l - w2l s.t. x = l^a k^(1-a)
と置きました（w1, w2 はそれぞれ要素価格）。計算を進めると、最終的に
　　　　w1 = pa (k/l)^(1-a)
w2 = p(1-a) (k/l)^a となったのですが、これをどうやって
　　　　w1 = pMPl, w2 = pMPk
のかたちにもっていくのでしょうか。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

あなたの答えで、すでに要素価格＝限界生産力価値のかたちになっているではありませんか！
あたえられたコブダグラス生産関数をｌで偏微分すると、ｌの限界生産物(限界生産力）は

MPl = ∂x/∂l = al^(-(1-a)・k^(1-a) = a(k/l)^(1-a)

よって、pMPl = pa(k/l)^(1-a)

となります。ただし、ｋの限界生産力価値は、MPｋ = ∂ｘ/∂ｋ = (1-a)l^a・k^(-a) = (1-a)(l/k)^a = (1-a)(k/l)^(-a)より

pMPk = p(1-a)(k/l)^(-a)

となります。これをみるとわかるように、あなたのｗ２ = p(1-a)(k/l)^aの右辺の指数部分はaではなく、-aとなるはずです。計算をもう一度確かめてください！

お礼

何か勘違いをしていたようです。よく理解できました。ありがとうございます。