ミクロ経済学の費用最小化について

質問

詳しく教えて頂けないでしょうか？

Y＝K^1/3 L^1/3
資本1単位の費用はr
労働1単位の費用はw
生産物1単位の価格は30
の時、利潤を最大にする最適な資本投入量Kと労働投入量Lを教えて頂けないでしょうか？

限界技術代替率はK/L まで求めました。
限界技術代替率＝w/r なのでK＝Lw/r
その後TC＝w×L+r×Kに代入すれば答えがでると思うのですがそこからの計算がわかりません。教えて頂けないでしょうか

回答No.2

statecollege

あなたの質問をよく読んでみると（よく読まなかったのは私の責任ですが）、表題とちがって費用の最小化ではなく、利潤最大化する要素（KとL)投入量を求める問題ですね。前者と後者の違いは、前者（つまり費用の最小化）を求めるには生産物の価格の情報は必要ありません。（私のNo1の回答を見てください）。後者を解くためには生産物価格の情報が必要ですが、問題には30と与えられています。
実は、この問題とまったく同じ問題（利潤最大化要素投入量を求める問題）はすでに回答しています。これをご覧ください（↓）
http://okwave.jp/qa/q9212758.html
ただし、記号が少し違いますが、生産関数はまったく同じなので、同じ解が得られるのです。この問題でえられたX1とX2の式があなたの問題の答えです。ただし、P=30、X1=L、W1=w、X2 = K, W2 =rと読み替えてください。

回答No.1

statecollege

最近回答した質問
http://okwave.jp/qa/q9221509.html?by=datetime&order=DESC#a_area
とほとんど同じ問題です。
min TC = wL + rK
s.t.
Y = K^1/3・L^1/3
の問題を解けばよいのです。最小化の１階の条件は、おっしゃるように、MRTS = w/rとなるので、
K/L = w/r ⇒K =( w/r)L 　　　　　　　　　　　　 (*)
を得る。これを制約式（生産関数）に代入して、
Y = (w/r)^1/3・L^2/3 ⇒ L^2/3 = (w/r)^(-1/3)・Y　⇒ L = (w/r)^(-1/2)・Y^3/2 　　　　 (**)
一方、(*)よりrK = wLだから、
TC = wL + rK = wL + wL = 2wL
である。この式へ(**)を代入すると
TC = 2w [(w/r)^(-1/2)・Y^3/2] = 2w^1/2・r^1/2・Y^3/2
となる。これがもとめる最小費用関数だ。計算が正しいか確かめてください。