生産関数から費用関数を求める問題

質問

生産関数はy = L^1/2・K^1/2とする。また、各生産要素の価格はつねにw= r = 1である。以下の設問に答えよ。
1この企業はいつも200単位の生産物を産出する。LとKを選べるとき、200単位の産出に必要な費用を求めよ。
2いま、この企業は生産技術に投資することで、生産関数をy = 2L^1/2 ・K^1/2とすることができる。やはり、生産物を200単位生産するとして、この企業がこの投資に支払ってもよいと考える最大額を求めよ。
という問題なのですが理解が追いついていません。分かりやすい解き方をどなたか教えて頂けると幸いです。

回答No.3

statecollege

回答してからしばらく経つが、まだ理解できていないのだろうか？回答されたものにわからないところがあったら、追加質問をするのが、質問者のマナーだよ！

回答No.2

statecollege

訂正。以下の文を⇒のように訂正してください。

＞幾何学的に求めるなら、横軸にL、縦軸にKをとり、まずｙを縦軸にとり、ｙを一定値（たとえば、y=200）に固定し、2番目の式を満たす（L,K)の組の軌跡（原点に凸の曲線）を描く。これを等量曲線という。
⇒
幾何学的に求めるなら、横軸にL、縦軸にKをとり、まずｙを一定値（たとえば、y=200）に固定し、2番目の式を満たす（L,K)の組の軌跡（原点に凸の曲線）を描く。これを等量曲線という。

と直してください。要するに、最初の文章から「ｙを縦軸にとり、」という余計なフレーズを削除してください。
等量曲線に少し説明を加えておくと、等量曲線は効用関数と無差別曲線との関係のように、生産関数においてｙを任意の値に固定することによって導くことができ、この曲線上の異なる組（L,K)から同一の水準の生産量ｙが生産されるので、この名前がついている。生産上の無差別曲線と呼ばれることもある。ｙのそれぞれの値にたいして1本の等量曲線が対応し、それらは互いには交わらない、原点にたいして凸の、無数の曲線群からなる。

回答No.1

statecollege

最初に費用関数の求め方を一般的に書くと
min C=wL+rK
s.t.
y = L^1/2・K^1/2　　　　　　　　　　　　　(*)
となる。つまり、生産量ｙが2番目の式（生産関数）の制約の下で1番目の式の右辺を最小化するLとKの組を求める、ということ。1番目の式の左辺についているminは「最小化する」（minimize)という操作を表す記号。あなたがラグランジュ法を知っているなら、ラグランジュ関数をつくって一階の条件を求める。幾何学的に求めるなら、横軸にL、縦軸にKをとり、まずｙを縦軸にとり、ｙを一定値（たとえば、y=200）に固定し、2番目の式を満たす（L,K)の組の軌跡（原点に凸の曲線）を描く。これを等量曲線という。つぎに、Cを任意の値に固定し、1番目の式ーー等費用曲線と呼ぶーーをL-K平面に描く。
C=ｗL+ｒK
あるいは
K= C/r - (w/r)L
となるから、等費用曲線は縦軸切片がC/rで、傾きが-w/rの右下がりの直線だ。図をきちんと描いてください。等費用曲線が等量曲線が接するところの（L,K)の組を(L*,K*)と書くと、そのときの費用
C*=wL*+rK*
がｙ＝100を生産するための最小費用となる。
等量曲線の傾き（絶対値）をMRTS（技術的限界代替率）であらわすが、
MRTS=∂y/∂L/∂y/∂K=K/L
と計算されるので（なぜ？）、w=r=1より、両曲線が接する点は
MRTS=w/r
を満たす。よって
K/L=1
が成り立つ。この等式と
200＝L^1/2・K^1/2
を連立させると、y=200を生産する費用を最小化する(L*,K*)の組が求まる(いくらになる？）。それを等費用曲線に代入すると、
C*=400
を得る。
（２）については生産関数がy=2L^1/2・K^1/2の場合についてy=200にかかる最小費用を求める。(1)の(2)の費用((2)のほうが低くなる、なぜ？）の差が企業があたらしい技術に支払ってもよい額をあらわしている。いくらになる（暗算で簡単に求まる）？