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ミクロ経済学 生産関数

生産関数がy=X1^1/2X2^1/2、生産要素の価格をw1、w2としたときに 費用最小化を実現するような費用関数を求める わかりません お願いします

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  • 回答No.2

同じような質問(コブダグラス生産関数のもとでの費用最小化問題)に回答したことがあります。    http://okwave.jp/qa/q8295332.html を参照してください。 なお、No.1さんの回答は途中まで正しいのですが、結論のところ 「ただし今回の問題はやや特殊で生産関数が一次同次ですが、この場合費用関数は要素価格から独立で、生産量の関数になるはずです。」 の最後のところは正しくありませんので注意してください。費用関数が要素価格に依存しないで、生産量だけの関数になるということはありえません。 ラグランジ法でも、代入法でもかまいませんが、まず費用最小化の1階の条件が  ∂y/∂X1/∂y/∂X2 = w1/w2 となることを求めてください。ここで、∂y/∂X1 = (1/2)X1^(-1/2)・X2^(1/2), ∂y/∂X2 = (1/2)X1^(1/2)・X2^(-1/2)であるから、あなたの生産関数の場合、1階の条件は結局    x2/x1 = w1/w2 すなわち、 (1)   x2 = (w1/w2)x1 となる。これを生産関数に代入して    y = (w1/w2)^(1/2)・x1^(1/2) よってx1について解くと (2)   x1 = (w2/w1)^(1/2)・y を得る。(2)を(1)に代入すると       (3)    x2 = (w1/w2)^(1/2)・y を得る。(2)と(3)を費用方程式(等費用曲線)    C = w1x1 + w2X2 のx1とx2に代入すると、最小費用関数       C = 2・(w1w2)^(1/2)・y を得る。最小費用は生産量yと要素価格w1とw2の両方に依存する関数です。 なお、   http://okwave.jp/qa/q8295332.html についていうと、そこのγはこの場合γ=2(w1w2)^(1/2)となることを確かめられたい。   

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質問者からのお礼

すばらしくわかりやすかったです!

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

No2への補足です。No1の回答者さんが言いたかったことは、以下のことではないでしょうか?生産関数が(あなの問題のように)規模に関して一定(つまり、1次同次)であるときは、(最小)費用関数は生産量yに関してリニアで、     C =γy とあらわされる。ここで、γは要素価格が与えられると一定で、yとは独立である。したがって、平均費用ACも限界費用もMC      AC≡C/y=γ   MC ≡dC/dy =γ と、一定かつ互いに等しくなる、ということです。なお、γ=2(w1w2)^(1/2)で、要素価格だけに依存し、yとは独立の値である。この費用関数のもとで、この企業の生産要素への需要、この企業の生産量がどうなるかはNo2で示したURLを見てください。

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質問者からのお礼

ありがとございます

  • 回答No.3

失礼しました、2番の回答者様のご指摘通りです・・・。

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  • 回答No.1

おはようございます!質問に書かれていませんが、市場は完全競争ということで話を進めます…。従って与えられた価格は所与一定値です。また、生産期間は長期(固定生産要素なし)として話を始めます。費用最小化問題を定式化すれば min w(1)x(1)+ w(2)X(2) subject to y = ( X1^(1/2) ) * ( X2^(1/2) ) となります。言葉によって補足すると、「生産関数を制約条件とし、`ある生産量`が与えられたとき、その生産量を最小の費用で達成するような`要素投入量の組み合わせ`を選べ。」というのが費用最小化問題の意味です。 例えばy = y*なる生産量が与えられたならば、 ( X1^(1/2) ) * ( X2^(1/2) ) = y* を満たすX(1),X(2)の組み合わせの中から、w(1)X(1) + w(2)X(2)を最小化するようなX1,X2の組み合わせを選ぶことになります。この費用最小化問題は、ラグランジュ未定乗数法などで解くことができます。 そして費用関数ですが、こちらは上記の費用最小化問題を解くことでも得られます。「ある生産量を最小の費用で達成したときの、総費用の値」が費用関数の値であり、生産量と要素価格の関数となります。 ただし今回の問題はやや特殊で生産関数が一次同次ですが、この場合費用関数は要素価格から独立で、生産量の関数になるはずです。

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質問者からのお礼

ありがとうございます

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