数学の証明

質問

1、a,bが実数のときa>bならばa-b>0である。逆も正しい
2、a>b,c<0ならばac<bcである。

の2問についてですが、証明したいことの意味はわかるのですがどのようにアプローチをすればいいかわかりません。
また、これを証明するにあたって公理が4つほどかかわってくるらしいのですが、
どのような公理でしょうか？

回答No.2

funoe · ベストアンサー

この問題が出てくる少し前に、
・実数の定義
・実数の大小関係の定義
・実数の演算（四則）の定義
を学んだでしょ。

その定義（あなた曰く、「４つの公理」）に即して証明を記述しなさいってのが問題だから
その定義がわかならいと回答できないな。

ちなみに、定義にはいろんな流儀があるから、
あなたの持っている教科書になんて載っているかがわからないと、だれも正解を回答できない。

回答No.1

kechon_

まず、証明を理解してください。
-----------------------証明-------------------------
1、a,bが実数のときa>bならばa-b>0である。逆も正しい

a>b の両辺にbの加法逆元＝-bを加えると
a-b>b-bよって
a-b>0

また、a-b>0の両辺に-bの加法逆元bを加えると、
a-b+b>0+bよって
a>b

2、a>b,c<0ならばac<bcである。
背理法
ac≧bcと仮定する。
0≧bc-ac＝(b-a)c
しかし、c＜0であるから、b-a≧0でなければならない。
つまり、b≧aでなければならない。
しかし、a>bより矛盾。
よってac<bc
---------------------------------------------
次に使った公理を考えます。
1においては

任意の実数bにおいてb+0=0+b＝bとなるような零元0が存在する。
実数bが存在するならば、b+(-b)=(-b)+b=0となる加法逆元-bが存在する。

を使いました。
また、2においては

分配律x(y+z)=xy+xz（と交換律も）
2つの実数A,Bにおいて必ず次の関係のどれかを満たす。
A>B,A=B,A<B
をつかいました。
そうでなければac≦bc（ac＜bc あるいは、ac=bc）を仮定し、矛盾を導いたところで、必ずしもac>bcであると言えないからです。

まとめると使った公理は
(1)逆元の存在
(2)零元の存在
(3)分配律
(4)2つの実数A,Bにおいて必ず次の関係のどれかを満たす。A>B,A=B,A<B
ですね。

ここまで読んでもらって申し訳ないですが、（4）は公理か知りません。（実数の勉強はしたことないです。）