数学証明問題ヒントをください

質問

中３です。数学の得意な方、以下の証明問題の解法のヒントをもらえないでしょうか。
糸口がまったく見えません。
【問題】
実数ａ、ｂ、ｃ（a≠０）が、b／ａ・c／ａ＞１、ｂ／ａ＋c／ａ≧-2を満たすとき、a,b,cは同符号であることを証明せよ。

回答No.2

dreamfighter · ベストアンサー

段階ごとに書きます。最後の方は答えに近いので、頭から読んでいって、解法が分かったらあとは読まない方がいいです。

（1）aは0でない実数なので、a^2>0です。

（２）不等号に文字をかけるときは、符号に注意！

（３）b／ａ・c／ａ＞１と（１）（２）よりｂとｃの条件が出ますよね？

（（３）の意味が分からないのなら・・・）

（４）b／ａ・c／ａ＞１⇔　bc>a^2>0　∴　bc>0

（５）bc>0⇔「b>0,c>0」・・・（I）または「b<0,c<0」・・・（II）

（６）ｂ／ａ＋c／ａ≧-2も同じようにしたいけど、aを単純にはかけられない・・・。

（７）大ヒント！！　ｂ／ａ＋c／ａ≧-2の両辺に、aではなくa^2(>0)をかければいいじゃない？？

（８）（７）をやったら整理して、a(2a+b+c)≧0

（９）（５）と同じことをする。

（１０）つまり
a(2a+b+c)≧0⇔　「a＞0,2a+b+c≧0」・・・（III）または「a＜0,2a+b+c≦0」・・・（IV）

（１１）（III）（IV）でaが存在する条件を考える。

（１２）（III）の成立条件。2a+b+c≧0⇔a≧(-1/2)(b+c)なので0≧(-1/2)(b+c)・・（*）ならよい。（数直線を書けばすぐにわかる。）（*）よりb+c≧0　（IV）も同様にして　b+c≦0

（１３）b+c≧0(a＞0のとき)またはb+c≦0(a＜0のとき)ということは（I）（II）よりa,b,cは同符号

以上より題意は示された。

（補足）（７）はもちろんa
で場合分けしてもいいがこの手法は覚えておくと便利

お礼

一度だけざっと読んで、あとは自分で鉛筆もってやってみました。
ヒントがとても参考になりました。こんな時間に質問したにもかか
わらず本当にありがとうございます。

回答No.5

mister_moonlight

b／ａ＝α、c／ａ＝βとする。
αβ＞1、α＋β≧-2　だから　これをαβ平面上に図示すると、α＞0、β＞0
つまり、ab＞0、ac＞0だから　a＞0の時は　b＞0、c＞0.　a＜0の時は　b＜0、c＜0で題意の通り。

でも、中3には無理かな、この方法は？　駄目なら、背理法なんだが、もっと駄目か？

お礼

このサイトの皆さんは本当に親切なんですね。これからもこのサイトを信頼して難問にどんどん挑戦していきたいと思います。本当にありがとうございます。

回答No.4

sub_6

x = b/a, y = c/a とおく
xy > 1 および x + y ≧ -2 が成り立つ。

x>0 のとき、y > 1/x > 0
…これが意味するのはa,b,cは同符号であるということ。

x<0 のとき、y < 1/x より、x + y < x + 1/x ≦ - 2
　x^2 + 2x + 1 ≧ 0 より x^2 + 1 ≧ - 2x
　x<0 のとき、x + 1/x ≦ - 2

…特に x + y < -2 が成り立ち、条件に反する。

お礼

夜遅くにも拘わらずわかりやすいヒントをいただき本当にありがとうございます。

回答No.3

atomonados

むずかしいね。数学得意じゃないけど回答させてね。

まず，bとcが0でないことを言わないといけないと思うんだな。

これは，1番目の不等式で言える。もしどちらかが0なら成り立たないからね。

a,b,cがすべて0じゃないと証明された上で，同符号異符号の場合分けかな。2*2*2で8通りあるよね。

全部確かめれば証明できると思うよ。

お礼

夜遅くにもかかわらずヒントをいただきありがとうございます。
この方法でもトライしてみます。

回答No.1

Tacosan

とりあえず 3つのうち 2つは同符号であることが一瞬でわかるから, あとは困ったら背理法. 相加相乗が使えれば瞬殺. ダメなら... 2次方程式の解と係数の関係でも使う?

お礼

こんな遅くに回答をいただきありがとうござました。