数学 三角関数

質問

三角形OABにおいて、OA=2、OB=1とする。辺ABの中点をMとし、角AOM=α、角BOM=βとおく。
(1)2sinα=sinβが成り立つことを示せ
(2)AB=√7であるとき、αおよびβの値を求めよ
(3)αのとりうる値の最大値を求めよ。
自力で解いて見たのですがよくわからなかったので、解答詳しくお願いします

回答No.1

sanzero · ベストアンサー

（１）OからABにおろした垂線の足をHとするとOH = OAsinα = OBsinβなので以下略。

（２）余弦定理から∠AOB = 120°
2sinα = sinβ = sin(120° - α) = (√3/2)cosα + (1/2)sinα
よりα = 30°, β = 90°となります。

（３）幾何学的な方法が思いつかないので座標平面に逃げると（幾何学の問題が楽に解けることがあります）
A(2, 0)、B(cosθ, sinθ) ただし(0°<θ<90°)とおけます。

M(1 + (1/2)cosθ, (1/2)sinθ)なのでOMとx軸とのなす角がαです。
Mの軌跡は中心(1, 0), 半径1/2の円Cを描くので
∠AOMが最大となるのはOMが円Cの接線となる時なのでα=30°となります。