分散について

質問

ポートフォリオの利益やくじなどで分散をつかうと思うのですが、その求め方がよく分かりません。

参考書を読んでも、

分散=確率・{(とる可能性のある値)-期待値}^2+もう一つの確率・{(とる可能性のあるもう一つの値)-期待値}^2

分散=E(Y^2)-[E(Y)]^2
(Yは利益、E(Y)は期待利益)

となっていて、どう使い分けるのかよく分かりません。
どちらが正しい、またはどういう時にどの分散を使えば良いのか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

takurinta · ベストアンサー

示されている二つの式は、本質的には同じものですので、その場で計算しやすい方法を採用すれば良いです。

念のために期待値E()の演算をtomo0903wwさんの表記法で書けば
Yの期待値E(Y) = (YがY1となる確率)・(とる可能性のある値Y1) + (YがY2となる確率)・(とる可能性のあるもう一つの値Y2) + ... + (YがYnとなる確率)・(とる可能性のある値Yn)
の総和であり、
> 分散=確率・{(とる可能性のある値)-期待値}^2+もう一つの確率・{(とる可能性のあるもう一つの値)-期待値}^2
というのは、二通りの可能性だけがある場合に通用する式ということになります。

一般にn通りの値を取るときには、
分散V(Y) = (YがY1となる確率)・{(とる可能性のある値Y1)-(Yの期待値)}^2 + (YがY2となる確率)・{(とる可能性のある値Y2)-(Yの期待値)}^2 + ... + (YがYnとなる確率)・{(とる可能性のある値Yn)-(Yの期待値)}^2
であり、これをEを使って書けば
V(Y) = E[{Y-E(Y)}^2]
ということです。そして、この式を展開すると
V(Y) = E(Y^2) - {E(Y)}^2
が得られます。

展開の中身を書いておくと
{Y-E(Y)}^2 = Y^2 - 2E(Y)*Y + {E(Y)}^2
より
V(Y) = E(Y^2) -2E(Y)*E(Y) + {E(Y)}^2
です。E(Y)は定数なので、第2項の期待値を取るときに係数として期待値計算の外にくくりだせます。

お礼

ご回答ありがとうございました。どちらでも良かったのですね。これからは気にせずにやってみます。