• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

あるサイコロの分散について

分散を求める問題困っています かたよったさいころ10回投げる試行を行う ここで1の目、4の目が出る確率はそれぞれp 2の目、5の目が出る確率はそれぞれq 3の目、6の目が出る確率はそれぞれr とする ただし p、q、r>0、p+q+r=1/2 とする さらに1の目が出る回数をX、 5の目が出る回数をY 3の目が出る回数をZとする X、Y、Zの分散をそれぞれV(X)、V(Y)、V(Z)とする。 このとき、V(X)+V(Y)+V(Z)の最大値とp、q、rのその時の値をもとめよ 必要なら(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)を用いてもよい 私の考えは独立試行なので V(X)+V(Y)+V(Z)=V(X+Y+Z)とし、 E(X+Y+Z)=10(p+q+r)=5 までは分かったのですが E({X+Y+Z}^2)について、どういう式にすればよいのか分かりませんでした。 特にどのように変数p,q,rを組み込むのか、また分散の最大値の求め方を詳しく教えてください どこかで(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)の式を用いるのだと思うんですが・・

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

こんにちは。 X,Y,Zはそれぞれ確率変数で、二項分布に従うので、 X~B(10,p) Y~B(10,q) Z~B(10,r) となります。それぞれの分散は、 V(X)=10×p×(1-p) V(Y)=10×q×(1-q) V(Z)=10×r×(1-r) となります。その足し算V(X)+V(Y)+V(Z)は 10(p+q+r)-10(p^2+q^2+r^2) となるはずです。そこで(p+q+r)=0.5なので、上の式は 5-10(p^2+q^2+r^2) となります。上の式を最大化するために(p^2+q^2+r^2)を最小化すればよい。 ここで、(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)を利用すると、1/12=<(p^2+q^2+r^2)となります。つまり、(p^2+q^2+r^2)は1/12を最小値として取るので、答えは 5-10/12 = 25/6 になると思います。終わり。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました なるほど、二項分布から導くのですね

関連するQ&A

  • これの期待値が分かりません

    次の問題の解法と答えを教えてほしいです かたよったさいころ10回投げる試行を行う ここで1の目、4の目が出る確率はそれぞれp 2の目、5の目が出る確率はそれぞれq 3の目、6の目が出る確率はそれぞれr とする ただし pqr>0、p+q+r=1/2 とする さらに1の目が出る回数をX、 2の目が出る回数をY 3の目が出る回数をZとする X+Y+Zの期待値を求めよ X+Y+Zの値の総当りで求める方法しか考え付かず、 その各期待値の場合わけが膨大なものになり、 とても正しいとは思えませんでした。 もっと効率いい方法はないでしょうか?

  • 統計学について

    統計学の問題です。平均はできたのですが、分散ができなくて困っています。解答、解説をどうかよろしくお願いします。問題は以下です。 確率変数X、Yは独立で、それらの平均と分散はE(X)=μ1、E(Y)=μ2、V(X)=σ1、V(Y)=σ2であるとする。εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数であり、X、Yとは独立であるとする。そのとき、確率変数Z=εX+(1-ε)Yの平均と分散を求めよ。 ちなみに、答えは、E(Z)=pμ1+(1-p)μ2、V(Z)=pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)(μ1-μ2)^2 です。

  • 分散と共分散の導出(証明問題)

    統計学の問題で困っています。 どなたか解ける方おられましたら、是非教えていただきたいです。 よろしくお願いします。 ---------- 確率変数X,Yの平均が0、分散が1、共分散がρならば、Z=X-ρYとしたとき E(Z)=0 Var(Z)=1-ρ^2 Cov(Z,Y)=0 となることを示せ。

  • サイコロとコインの分布

    次の確率の問題がわかりません (2を特にお願いします) 表が出る確率をpのコインとサイコロを用意する。 コインとサイコロを交互に投げる。この試行を サイコロの3の目が出るまで続けるとする。 以下の問題に答えよ 1.コインの投げる回数をYとするとき、 Yの確率分布と平均を求めよ 2.コインのおもてが出た回数をXとするとき、 X=1、X=2となる確率をそれぞれ求めよ 1については幾何分布だから 分布は1-(1-p)^(Y) 平均は(1-p)/p ですよね? 2については、サイコロの3が出ない場合が続いたら その確率はどうなるのかがわかりません

  • 分散について

    以下のような問題があります。 問題 「正規分布(μ1,σ1^2)に従う確率変数x1と、 正規分布(μ2,σ2^2)に従う確率変数x2の積 y=x1・x2の分散V(y)をμ1,μ2,σ1,σ2で表せ」 この問題を解きたいのですが、つまってしまいました。 とりあえず、 V(y)=V(x1・x2) =E((x1・x2)^2)+E(x1・x2)^2 とすすめていくと思うのですが…。 答えの導き方を教えてくださいm(_ _)m

  • 数学A  反復試行の確率

    こんばんは。 数直線とサイコロの問題で、 原点にある点Pは、4以下の目が出ると+2進み、5以上の目が出ると -1すすむ問題で、サイコロを4回投げた時に、Pの座標pが p=2になるとき、 4以下の目が出る回数をx、5以上の目が出る回数をyとおくと、 2x-y=2   x+y=4  を連立して x=2、y=2 が出るので (4/6)^2・(2/6)^2 と解いたのですが、 これは反復試行の確率の公式(?)で、 4C2・(4/6)^2・(2/6)^2 と解けるようです。 4C2がつく理由がよくわからないので、反復試行の確率 nCr・p^r・q^nーr (q=1-p) が成り立つ理由を教えて下さい。 お願いします。

  • 分散・共分散

    確率変数Xの分布が0を境に対称であるとき、XとY=X^2の共分散が0であることを示すのと、またXとZ=X^3の共分散がどのようになるのかわかりません。教えてください。

  • 平均と分散を求める問題なのですが

    A={1,2,3,4,5}の要素を次の確率にしたがってとる確率変数Xを考える、以下を求めよ、 答えは既約分数で示せ。 P(1)=1/2 P(2)=1/4 P(3)=1/8 P(4)=P(5)=1/16 (1)Xの平均E[X]、分散V[X] を求めよ。 (2)|X-3|の平均E[|X-3|]、分散V[|X-3|] を求めよ。 (1)の答えをE[X]=31/16 V[X]=367/256 (2)の答えをE[|X-3|]=-(209/16) V[|X-3|]=-(9071/50) という風になったのですがこれであっているのでしょうか? どうか答え合わせをしていただければ嬉しいです。

  • 共分散で分かること

    文系ですが、今ゼロからシリーズの統計確率を読んでいます。その中で共分散という言葉がでてきます。その式は  C(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) というもので、その解説の前の問題で  赤球3個、白球2個、青球1個 計6個より無作為に2個取り出すとき、赤球の個数をX、白球の個数をYとして ちょうど 、上の式 共分散の式で、値が、-4/15 とでています。 これで何が分かるのでしょう その前の問題では、同時確率分布、周辺分布ほ求めていますが、これは、理解できます。

  • 和の共分散の公式について・・・確率変数XYZで

    Cov(X+Y、Z)=Cov(X、Z)+Cov(Y、Z) これって、XとYを足したものとZとの共分散でしょうか? どなたか、簡単な例で教えて下さい。 XとYの共分散までなら分かります。 40%の確率で期待値がX=20,Y=30,Z=40 60%の確率でX=10、Y=50、Z=30とかだったら上のし式はどうなりますか? 他の例でもけっこうです。