和の共分散の公式について・・・確率変数XYZで

質問

Cov（Ｘ+Ｙ、Ｚ）＝Cov（X、Z）+Cov（Y、Z)
これって、XとYを足したものとZとの共分散でしょうか？
どなたか、簡単な例で教えて下さい。　XとYの共分散までなら分かります。　40％の確率で期待値がX=20,Y=30,Z=40
60％の確率でX=10、Y=50、Z=30とかだったら上のし式はどうなりますか？　他の例でもけっこうです。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

たとえば、３つのデータ
(X,Y,Z) = (1,1,1),(1,2,2),(2,3,2)
があったとすると、
Cov(X,Z) = E(XZ)-E(X)E(Z) = (7/3)-(4/3)(5/3) = 1/9
Cov(Y,Z) = E(YZ)-E(Y)E(Z) = (11/3)-2(5/3) = 1/3
Cov(X+Y,Z) = E((X+Y)Z)-E(X+Y)E(Z) = 6-(10/3)(5/3)=4/9
となりますから、
Cov(X+Y,Z) = Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
が成り立っています。
※Eは平均値の意味です。

質問の後半ですが、期待値だけから共分散を求めることはできません。上のように具体的なデータの組か、(X,Y,Z)３次元の確率分布が必要です。

お礼

やっと今分かりました。分かりやすい例題ありがとうございました。

回答No.2

at9_am

こういう問題は、一歩前に戻って計算するのが一番です。

X,Y,Z の期待値をそれぞれμx,μy,μzとおけば、
Cov(X+Y,Z) = E[{(X+Y)-(μx+μy)}{Z-μz}]
　= E[(X-μx)(Z-μz)+(Y-μy)(Z-μz)]
　= E[(X-μx)(Z-μz)] + E[(Y-μy)(Z-μz)]
　= Cov(X,Z) + Cov(Y,Z)
となり題意は示すことが出来ます。

お礼

こうなっていたんですね、ありがとうございました。