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確率変数の分散
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E[(X+Y)^2] = E[X^2 + Y^2 + 2X Y] = E[X^2] + E[Y]^2 + 2 E[X Y] E[X+Y]^2 = (E[X] + E[Y])^2 = E[X]^2 + E[Y]^2 + 2 E[X] E[Y] 辺々引けば E[(X+Y)^2] - E[X+Y]^2 = (E[X^2] - E[X]^2) + (E[Y^2] - E[Y]^2) + 2 (E[X Y] - E[X] E[Y]) = Var[X] + Var[Y] + 2 Cov[X,Y]
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- incd
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蛇足になるかもしれませんが、この証明の場合 E{(X+Y)^2} - {E(X+Y)}^2 を展開するよりも Var(X+Y)=E[ {X+Y} - {E(X)+E(Y)} ]^2 の方を利用して E[ {X+Y} - {E(X)+E(Y)} ]^2 = E[ {X-E(X)} + {Y-E(Y)} ]^2 を展開した方が速いかもしれません。
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