分散と共分散の導出(証明問題)

質問

統計学の問題で困っています。
どなたか解ける方おられましたら、是非教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

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確率変数X,Yの平均が0、分散が1、共分散がρならば、Z=X-ρYとしたとき

E(Z)=0
Var(Z)=1-ρ^2
Cov(Z,Y)=0

となることを示せ。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

E(Z)
=E(X-ρY)
=E(X)-E(ρY)
=E(X)-E(Y)
=0-0
=0
Var(Z)
=Var(X-ρY)
=Var(X)+Var(-ρY)+2Cov(X,-ρY)
=Var(X)+ρ^2*Var(Y)-2ρ*Cov(X,Y)
=1+ρ^2-2ρ*ρ
=1-ρ^2
Cov(Z,Y)
=Cov(X-ρY,Y)
=Cov(X,Y)-ρ*Cov(Y,Y)
=Cov(X,Y)-ρ*Var(Y)
=ρ-ρ*1
=0

お礼

途中部分も丁寧にありがとうございました。
おかげで理解できました、感謝します。