共分散について

質問

共分散について教えていただきたいのですが、
互いに独立の確率変数x、yがある場合、
共分散が0になることはどうすれば証明できるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

killer_7 · ベストアンサー

kumav113さんの考えている共分散の定義を書かれていないので，
一般的と思われる定義でやりますが，いずれにせよ
XとYとが互いに独立 <=> E(XY)=E(X)E(Y)　（E(X)はXの期待値）
であることを用いればできるはずです．

確率変数X, Yに対して，共分散Cov(X, Y)を
　　Cov(X, Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))
と定義すると，

XとYとが互いに独立 <=> E(XY)=E(X)E(Y)
ならば，
Cov(X, Y)
= E((X-E(X))(Y-E(Y)))
= E(XY) - E(E(X)Y) - E(E(Y)X) + E(E(X)E(Y))
= E(X)E(Y) - E(X)E(Y) - E(Y)E(X) + E(X)E(Y)
= 0．

E(E(X)Y) = E(X)E(Y)などはよいですね．
逆は成り立たない（共分散が0であっても，互いに独立とは限らない）ことに注意する．

お礼

良く理解できました。感謝します。
ありがとうございました。

回答No.1

zk43

回答がないので・・・ちょっと

xの平均をE(x)=μx、yの平均をE(y)=μy、x,yの共分散をC(x,y)
と表わす。

共分散の定義と、x,yが独立なことから、
C(x,y)=E((x-μx)(y-μy))=E(x-μx)・E(y-μy)
=(E(x)-μx)(E(y)-μy)=(μx-μx)(μy-μy)=0×0=0

また、一般に
C(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
と変形できるので、x,yが独立なら
C(x,y)=E(x)E(y)-E(x)E(y)=0

ほとんど定義からすぐわかります。

お礼

良く理解できました。感謝します。
ありがとうございました。