共分散

質問

X1、X2をペアの確率変数とします。
もしX1とX2が同じ分散になる場合、
（X1＋X2）と（X1－X2）の共分散が０になる
事を証明しなさい。

今、使ってる問題集が偶数番号しか答えがのって
ないため、この問題の解き方がわかりません。

分散の式を使って解こうとしても
先に進めないし。
例えば、W＝a+bXみたいに置き直す必要は
あるのでしょうか？？

解き方がわかる方、教えて下さい。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

(X,Y)の密度をp(x,y)としXの平均をmとしYの平均をnとすと

∫dxdy・((x+y)-(m+n))・((x-y)-(m-n))・p(x,y)
=∫dxdy・((x-m)^2-(y-n)^2)・p(x,y)=0

お礼

なるほど。平均を仮定すれば
よかったんですね～。

有難うございます！

回答No.2

kony0

公式
Cov(○,△)=E[○△]-E[○]E[△]
を使うと、Cov(X+Y,X-Y)=V(X)-V(Y)がすぐ計算できませんか？（途中の式変形はさすがにここでは書きませんが^^;）

#1さんとまったく同じ回答ですが（汗）

お礼

はい、No1さんの返答を見て、
出来ることがわかりました。

有難うございました。