期待値と分散が知りたいです。

質問

統計学の質問ですがお願いします。
下の中の6番がわかりません

母集団全体における内閣支持率をｐ（ｐは未知定数）とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「１」、しない場合は「０」と変数Xに記録する。

１、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。
２、Xの期待値と分散を求めよ。

無作為抽出をｎ回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。

３、S＝X1＋X2＋…＋Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。
４、Sの期待値と分散を求めよ
５、X_（←エックスバーです）＝S/ｎと定義する。X_は何を意味しているか答えよ
６、X_の期待値がｐと分散ｐ（１-ｐ）/ｎになる。その証明過程を説明せよ。

わかる範囲でいいのでおねがいします。

回答No.1

ask-it-aurora

[1] ベルヌーイ分布．

[2] 期待値は E[X] = 1p + 0(1 - p) = p．
分散は V[X] = p(1 - E[X]) + 0(0 - E[X]) = p(1 - p)．

[3] 復元無作為抽出のうちで内閣支持者が何人いたかを意味する（ただし重複も込めて）．

[4] 独立性よりE[S] = E[X1] + … + E[Xn] = np，
V[S] = V[X1] + … + V[Xn] = np(1 - p)．

[5] 標本の内閣支持率．

[6] 期待値の線形性から
E[S/n] = E[S]/n = p.
分散の性質から
V[S/n] = V[S]/n^2 = p(1 - p)/n.

## 随分とカンタンなことで．それとも，離散型確率変数の期待値の線形性とかを示せ，ってこと？