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統計学です。お願いします。

統計学の質問ですがお願いします。 母集団全体における内閣支持率をp(pは未知定数)とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「1」、しない場合は「0」と変数Xに記録する。 1、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。 2、Xの期待値と分散を求めよ。 無作為抽出をn回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。 3、S=X1+X2+…+Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。 4、Sの期待値と分散を求めよ 5、X_(←エックスバーです)=S/nと定義する。X_は何を意味しているか答えよ 6、X_の期待値と分散を求め証明過程を説明せよ。 7、X_の2シグマ区間をもとめよ わかる範囲でいいのでおねがいします。

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  • 回答No.1

(1) P(X=1)=p P(X=0)=1-p Xは2項分布B(1,p)に従う (2) EX=p だからXの期待値はp EX^2=p VarX=EX^2-p^2=p(1-p) だからXの分散はp(1-p) (3) Sは標本中の支持数を意味する (4) 標本n個の内k個が1,(S=k)である確率 P(S=k)=(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}だから Sの期待値をESとすると ES=Σ_{k=1~n}P(S=k)k =Σ_{k=1~n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} k(nCk)=kn!/{k!(n-k)!}=n(n-1)!/{(k-1)!(n-1-(k-1))!}=n{(n-1)C(k-1)} だから ES=npΣ_{k=1~n}{(n-1)C(k-1)}(p^{k-1})(1-p)^{n-1-(k-1)} =npΣ_{j=0~n-1}{(n-1)Cj}(p^j)(1-p)^{n-1-j} =np ES^2=Σ_{k=1~n}P(S=k)k^2 =Σ_{k=1~n}(k^2)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} =Σ_{k=1~n}k(k-1)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}+Σ_{k=1~n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} =n(n-1)p^2Σ_{k=2~n}{(n-2)C(k-2)}(p^{k-2})(1-p)^{n-2-(k-2)}+np =n(n-1)p^2+np だからSの分散をVarSとすると VarS=E(S-np)^2 =ES^2-(np)^2 =n(n-1)p^2+np-(np)^2 =np(1-p) (5) X_は標本中の支持率を意味する (6) 標本n個の内k個が1,(X_=k/n)である確率は P(X_=k/n)=(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}=P(S=k) で ES=Σ_{k=1~n}P(S=k)k=np ES^2=Σ_{k=1~n}P(S=k)k^2=n(n-1)p^2+np だから X_の期待値をEX_とすると EX_=Σ_{k=1~n}(k/n)P(X_=k/n) =Σ_{k=1~n}kP(S=k)/n =ES/n =np/n =p EX_^2=Σ_{k=1~n}P(X_=k/n)(k/n)^2 ={Σ_{k=1~n}P(S=k)k^2}/n^2 =(ES^2)/n ={n(n-1)p^2+np}/n =p{p(n-1)+1}/n だからX_の分散をVarX_とすると VarX_=E(X_-p)^2 =EX_^2-p^2 =[p{p(n-1)+1}/n]-p^2 =p(1-p)/n ∴ X_の期待値は p X_の分散は p(1-p)/n 7 σ^2=p(1-p)/n だから σ=√{p(1-p)/n} だから X_の2σ区間は [p-2σ,p+2σ]=[p-2√{p(1-p)/n},p+2√{p(1-p)/n}]

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