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期待値と分散を知りたいです。

統計学の質問ですがお願いします。 下の中の6番がわかりません 母集団全体における内閣支持率をp(pは未知定数)とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「1」、しない場合は「0」と変数Xに記録する。 1、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。 2、Xの期待値と分散を求めよ。 無作為抽出をn回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。 3、S=X1+X2+…+Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。 4、Sの期待値と分散を求めよ 5、X_(←エックスバーです)=S/nと定義する。X_は何を意味しているか答えよ 6、X_の期待値がpと分散p(1-p)/nになる。その証明過程を説明せよ。 わかる範囲でいいのでおねがいします。

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6.を回答します. 一般に確率変数X,Yに対し E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(a,bは定数) もしX,Yが独立なら E(XY)=E(X)E(Y) 6.X_=(X1+X2+・・・+Xn)/nだから E(X_)=(1/n){E(X1)+E(X2)+・・・+E(Xn)} において E(Xi)=1・p+0・(1-p)=p ∴E(X_)=(1/n)np=p V(X_)=E((X_-p)^2)=E(X_^2-2pX_+p^2) =E(X_^2)-2pE(X_)+p^2 =E((1/n)^2(X1+・・+Xn)^2)-2p^2+p^2 =(1/n^2)E((X1+・・+Xn)^2)-p^2 ここで (X1+・・+Xn)^2=Σ_{1≦i≦n}Xi^2+2Σ_{1≦i<j≦n}XiXj E((X1+・・+Xn)^2)=Σ_{1≦i≦n}E(Xi^2)+2Σ_{1≦i<j≦n}E(XiXj) さらにここで E(Xi^2)=1^2・p+0^2・(1-p)=0 E(XiXj)=E(Xi)E(Xj)=p・p=p^2(i≠jのときXi,Xjは独立) であるから(Σ_{1≦i<j≦n}はnC2個の(i,j)に関する和) E((X1+・・+Xn)^2)=np+2{n(n-1)/2}p^2=n(p-p^2)+n^2p^2 ∴V(X_)=(1/n^2)(n(p-p^2)+n^2p^2)-p^2 =(p-p^2)/n=p(1-p)/n

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質問者からのお礼

わかりやすいです。 本当にありがとうございます。

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