期待値と分散について

質問

期待値E(xn)=E(2Xーn)だとします。E(2Xーn)=2E(X)ーnになる理由が分かりません。E(n)=nなのでしょうか。
また、分散V(xn)=V(2Xーn)だとします。V(2Xーn)=2^2V(X)となる理由が分かりません。2V(X)ーV(n)なのでは？V(n)って何だろう？と思ってしまいます。
どなたかお教え願いたいです。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

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x1,x2,x3,.............xnの平均値E(x)は
E(x)=Σ(i=1→n)xi*(1/n)=(1/n)Σ(i=1→n)xiだから
E(2x-n)=Σ(i=1→n)(2xi-n)*(1/n)
=Σ(i=1→n)(2xi*(1/n)-Σ(i=1→n)n*(1/n)
=(2/n)Σ(i=1→n)xi-n=2E(x)-n
x1,x2,x3,.............xnの分散V(x)は
V(x)=(1/n)Σ(i=1→n){xi-E(x)}^2
=(1/n)Σ(i=1→n){xi^2-2xiE(x)+E(x)^2}
=(1/n)Σ(i=1→n)xi^2-(2/n)E(x)Σ(i=1→n)xi+(1/n)Σ(i=1→n)E(x)^2
=(1/n)Σ(i=1→n)xi^2-2E(x)^2+E(x)^2だから
V(2x-n)=(1/n)Σ(i=1→n){2xi-n-E(2x-n)}^2
=(1/n)Σ(i=1→n){2xi-n-(2E(x)-n)}^2
=(1/n)Σ(i=1→n){2xi-2E(x)}^2
=(1/n)Σ(i=1→n)(4xi^2+4E(x)^2-8xiE(x)}
=(4/n)Σ(i=1→n)xi^2+(4/n)Σ(i=1→n)E(x)^2-(8/n)E(x)Σ(i=1→n)xi
=(4/n)Σ(i=1→n)xi^2+(4/n)nE(x)^2-8E(x)^2
=4{(1/n)Σ(i=1→n)xi^2-2E(x)^2+E(x)^2}
=4V(x)=2^2V(x)

お礼

ありがとうございます。何度も読み直して理解していきたいと思います。

回答No.1

Tacosan

定義に戻って考えればいい.

お礼

ありがとうございます。私の参考書には詳しい定義は載っていないのですが、E(n)=n、V(2X)=2^2V(X)、V(n)=0ということでよろしいのでしょうか？