ユークリッド平面の１点コンパクト化について

質問

いくつか質問をさせてください。
まず、以下の流れにおかしいところはありませんか。

ユークリッド平面R^2に、平面上にない点∞を１つ加えて、
R^2∪｛∞｝をコンパクトにできることを証明したいと思います。

そこで、ユークリッド空間R^3において、原点を中心とした半径１の球面S^2を考え、
S^2とR^2∪｛∞｝が同相であることを示せれば、
S^2が有界閉区間であるがゆえ、同相写像によってコンパクト性は保たれるので、
R^2∪｛∞｝もコンパクトであることがわかります。

ここで、
(1)S^2から北極点(0,0,1)を除いた集合S^2 - ｛(0,0,1)｝とR^2が同相であることを示し、
(2)それを用いて、S^2とR^2∪｛∞｝が同相であること
を示そうと思うのですが、それが上手くいきません。

(1)写像φ:S^2 - ｛(0,0,1)｝ →　R^2を、立体射影を考えるように定義する、
つまり、φ(x1,x2,x3) = (x1/(1-x3) , x2/(1-x3))　という風にすれば、
これは全単射であることは、簡単にわかります。
ですが、これが連続であることを証明するにはどうすればいいでしょうか。

x1/(1-x3)が連続であることを示せばいいのでしょうが、
ちょっと解析学が怪しくて・・・。
どなたかご教示願います。

話は戻り、逆写像φ^-1 についても、同じように連続であることを示して、
φが同相写像であることを示せたとします。

(2)ここからナゾが増えてきます。まず、R^2∪｛∞｝にはどんな位相を定めればいいのでしょうか。
教科書を見れば、”一点コンパクト化”というのは、
｛R^2のopen set 全体｝∪｛(R^2∪｛∞｝)-K | KはR^2のコンパクト集合｝
という集合族を作れば、これはR^2∪｛∞｝の位相になり、コンパクトとなる。
と書いてあるのですが、このような位相にすればいいのでしょうか。

そうだとして、またギロンを進めます。
Ψ:S^2　→　R^2∪｛∞｝を、φを拡張した写像とし、
Ψ((0,0,1))=∞とすれば、
これが同相写像になるらしいのですが、うまく示せません。

ひとまず、R^2∪｛∞｝からopen set Oをひとつとり、そのΨの逆像がS^2のopen setになることを
示す方向で、Ψが連続になることを示そうと思いました。

Ｏが∞を含まないopen set だったとき、R^2∪｛∞｝の位相の定義から、
ＯはR^2のopen set であるといえます。
だから、Ψ^-1 (Ｏ) = φ^-1 （O）で、φの連続性より、これはS^2 -｛(0,0,1)｝のopen setになります。
省きますが、いろいろやって、これはS^2のopen setであることもいえました。

問題は次で、
Oが∞を含むopen setだったときです。
そのときOは、(R^2∪｛∞｝)-Kの形で表せますよね。

このとき、Ψ^-1(Ｏ) =S^2 -φ^-1 (K)の形で表せました。
これがS^2のopen setであることをいうためには、どうすればいいのでしょう。

ネットをいろいろみてみても、”開基”を考えたりして証明しているのですが、
よくわかりません。そもそもなぜ開基をいれる必要があるのかが不明です。

以上です。ヒントだけでもいいので教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

X=R^2∪{∞}
D={R^2の開集合全体}∪{X-K|KはR^2のコンパクト集合}
とすると
DはX=R^2∪{∞}の位相になる(証略)
「Xの任意の開被覆が有限部分開被覆を持つときXはコンパクト」という
コンパクトの定義により
Xがコンパクトとなることを示す。
{G_j}_{j∈A}をXの任意の開被覆とすると
X=∪_{j∈A}G_j
∞∈G_mとなるm∈Aが存在する
G_mは開だからG_m∈D
G_mはR^2の開ではないから
G_m=X-K
KはR^2のコンパクト集合
となるKが存在する
X={∪_{j≠m}G_j}∪(X-K)
だから
K⊂∪_{j≠m}G_j
となって
{G_j}_{j≠m}はKの開被覆となる
Kはコンパクトだから
K⊂∪_{i=1～n}G_j_i
となる有限開被覆{G_j_i}_{1=1～n}が存在する
X=∪_{i=1～n}G_j_i∪G_m
だから
{G_j_i}_{1=1～n}∪{G_m}
はXの有限開被覆となるから
Xはコンパクトである

お礼

たしかに・・・。
ありがとうございます。