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位相数学の証明問題です.

以下の証明を,どなたか分かる方,お願いします. (1)R^2の3つの部分集合A = { (x,y) | (x,y) ≠(0,0) },B = { (x,y) | x^2 + y^2 > 1 },C = { (x,y) | |x| >1 or |y| > 1 } は,いずれも同相(※)であることを示せ. (2)R^2とR^2 - { (0,0) }(原点を除いた平面)は同相(※)でないことを示せ. ※2つの位相空間X,Yが同相であるとは,2つの連続写像 f :X → Y および g :Y → X で g o f = 1x , f o g = 1y となるものが存在することをいう.

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  • ojisan7
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こんばんは。 これは直感的に明らかな問題ですね。でも直感的に明らかなことでも、証明するとなると大変ですね。 (1)同相写像はいろいろあります。質問者さんの考えたものでいいんではないですか。たとえば f:A →B は(x,y)を動径方向に1だけ移動すればいいんじゃなかな。Cについてはご自分で考えて下さい。 (2)R^2の位相でR^2は閉集合だけど、R^2-{(0,0)}はR^2の位相で開集合です。閉集合の連続写像による像は閉集合でなければなりません。だから、同相ではないのです。 それでは。

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