数学の問題です

質問

全く解法が思いつきません。解説お願いします!!!

a,b,c,d,e,kは実数とする。　a+b+c+d+e=kのとき、
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2の最小値と、それを与えるa,b,c,d,eの値をｋを用いて表せ

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

a=b=c=d=e=k/5　のとき最小値　k^2/5　となるのは容易に想像できるでしょう。

証明法はいろいろあるでしょうが、とりあえず背理法で。

仮にある値a,b,c,d,eで最小になったとする。
このとき、もしa≠bとしたら、
a’=b’=(a+b)/2
とおけば、a’+b’=a+bで、
a’^2+b’^2=(a+b)^2/2=a^2+b^2-(a-b)^2/2<a^2+b^2
となるので、最小であるという仮定に反する。
よって、a=bでなければならない。
他も同様なので、a=b=c=d=eとなる。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.4

alice_44

ユークリッド幾何学ですよ。5次元ですけど。
(a,b,c,d,e) の置かれた実5次空間に、
(1,1,1,1,1) 方向の軸を含む正規直交座標をとります。
(1,1,1,1,1) 方向の成分を x、他の4成分を y,z,u,v とすると、
a+b+c+d+e=k は、新しい座標で x=k/√5 と書けます。
a2乗+b2乗+c2乗+d2乗+e2乗=x2乗+y2乗+z2乗+u2乗+v2乗
x は定数で、y,z,u,v は実数ですから、最小値は y=z=u=v=0 のとき。
値は (k2乗)/5 で、a=b=c=d=e=k/5 のときだと判ります。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

surpergolliia

わかりません。

回答No.1

papafuji

最小値1 で　x=－√2kではないでしょうか？Rayleigh商ではないですか？？東工大入試問題？？