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数学の問題｜鮮やかな解法を教えてください
- 数学の問題について、鮮やかな解法を教えてください。
- 留学生試験H25-6月実施の数学コース１(基本コース）のIIIの問題について、しらみつぶしで解く以外にもっと巧妙な解答方法はないかと思っています。
- 設問1から4までは解くことができましたが、設問5については複数の条件を試して最小値を求めましたが、もっとスマートな解法があるのでしょうか。
- oshiete_q
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(1)-(4)までが何とか解けたなら、(5)でa=1やa=2のときを調べる必要はないはずです。解けていないのかもしれません。 この問題で、x軸との共有点は ax^2 - 2bx + c = 0 の解である。2次方程式の解の公式を適用して x = (2b ± √(4b^2 - 4ac)) /2a = (b ± √(b^2 - ac)) /a x軸と共有点を持つということは、ルートの中身は 0 以上で b^2 - ac ≧ 0 0 < x < 1 であるから 0 < (b ± √(b^2 - ac)) /a < 1 この不等式を、前半部分・後半部分に分けて利用する。式の中に± があるが、前半部分については - 、後半部分については + で利用する。 前半部分を - で利用する。 0 < (b - √(b^2 - ac)) /a a > 0 であるから、両辺に掛けて b - √(b^2 - ac) > 0 b > √(b^2 - ac) ≧ 0 よって b > 0 …… [B] また、両辺を2乗してルートを外し b^2 > b^2 - ac よって ac > 0 a > 0 であるから c > 0 …… [B] 後半部分を + で利用する。 (b + √(b^2 - ac)) /a < 1 a > 0 であるから、両辺に掛けて b + √(b^2 - ac) < a 0 ≦ √(b^2 - ac) < a - b よって a > b …… [A] また、両辺を2乗してルートを外し b^2 - ac < a^2 - 2ab + b^2 よって - ac < a^2 - 2ab a > 0 であるから - c < a - 2b したがって 2b < a + c …… [C] [A]、[B]より ab > b^2 また、冒頭で述べたように b^2 - ac ≧ 0 よって ab > ac a > 0 であるから b > c …… [D] [A]、[B]、[D]より 0 < c < b < a a、b、c は整数であるから、最小の組み合わせは a = 3、b = 2、c = 1 であるが、これは[C]を満たさない。 次に、a = 4 と仮定すると、b は 3以下である。 [C]に代入して確かめると、 a = 4、b = 3 の場合、c が 3以上となって[D]に反する。 a = 4、b = 2 の場合、c = 1 となって、 方程式 ax^2 - 2bx + c = 0 は 4x^2 - 4x + 1 = 0 である。これを解いて x = 1/2 これは 0 < x < 1 を満たす。したがって a = 4 …… [E] b = 2 …… [F] c = 1 …… [G]
お礼
Ganymede様 ありがとうございました。 条件を見ると，確かに 0<c<b<a が導けます。 これを見落としていました。 これが分かっていれば，a=3 からチェックすればいいわけです。 a,b,cの大小関係に気がつきませんでした。 私は，y=ax^2-2bx+cから，軸をx=b/aとして， 0<b/a<1より，0<b<a x=0 のとき，y=c>0 x=1 のとき，y=a-2b+c> 判別式より D/4=b^2-ac>=0 より求めました。 ですが，Ganymede様の鮮やかな解き方に 脱帽です。 最初に申し上げたように，a,b,cの大小関係に気づかなかったのが，残念です。 これで納得いたしました。 お礼を申し上げます。 質問にお答えいただきありがとうございました。 香深