二回積分する解法の手順

質問

d^2x/dt^2 = -k/M*(x-Mg/k)

M, g , kは定数

を解くと

x-Mg/k = A sin (ωt + φ)

となると書いてありました。

個々の導出までの計算方法を教えてください。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

y=x-Mg/k

とおきましょう．Mg/kは定数ですから，

x=y+Mg/k
dx/dt=dy/dt
dx^2/dt^2=dy^2/dt^2

です．したがって方程式は

d^2y/dt^2=(-k/M)y

となります．両辺にz=dy/dtをかけるとd^2y/dt^2=dz/dtより

zdz/dt=(-k/M)ydy/dt

2zdz/dt+(k/M)2ydy/dt=0

時間で積分すると

∫2z(dz/dt)dt+(k/M)∫2y(dy/dt)dt=C(定数)

∫2zdz+(k/M)∫2ydy=C(定数，初期条件から決まります)

z^2+(k/M)y^2=C

(dy/dt)^2+(k/M)y^2=C

これを満たす解として

y=Asin(ωt+φ)

を仮定します．

dy/dt=Aωcos(ωt+φ)

だから解となるためには

A^2ω^2cos^2(ωt+φ)+A^2(k/M)sin^2(ωt+φ)=C

がtの恒等式になればよいです．そのためには

ω^2=k/M

となればいいです．なぜなら左辺は

A^2(k/M){cos^2(ωt+φ)+sin^2(ωt+φ)}=A^2(k/M)

となり定数となるからです．AはA^2(k/M)=Cから決まります．

こうしてω^2=k/Mを満たすωを使って

x-Mg/k=Asin(ωt+φ)

となります．A，φは初期条件からきまります．これが実際に解になることは代入してみればすぐわかります．

dx/dt=Aωcos(ωt+φ)

dx^2/dt^2=-Aω^2sin(ωt+φ)

=-(k/M)(x-Mg/k)

お礼

完璧な解説をご教授下さり誠にありがとうございます。
また初期条件などもその後どのように値を代入すればいいのかの手ほどきまですべてご説明くださりお礼申し上げます。

お示しくださったことをすべて今手書きでノートに書き込んで自分で計算を挑戦しています。
自力で出来るまで繰り返しお教え下さった内容を見直そうともいます。
今後ともご教授の程よろしくお願い申し上げます。