定積分の結果に辿り着かせて下さい

質問

定積分の結果に辿り着かせて下さい。

概要
f_p(t)
= { sin^2 t (0<=t<π)
= { 0 (π<=t<2π)
のフーリエ級数の
f_s(t) = c_0 + Σ[n=1,∞] a_n cos nt + Σ[n=1,∞] b_n sin nt
のb_nの定数を求めようとしています。

（本からの抜粋）
b_m = (1/π) ∫[0,π] (sin t)^2 * sin mt dt
(m = 1,2,3,...)
の被積分関数は
(sin t)^2 * sin mt = (1/2) sin mt - (1/4) {sin (2+m)t - sin (2-m)t}
と書き直せるので、定積分することにより
{ b_m = 0 (mが偶数のとき)
{ b_m = - 4 / (πm(m^2 - 4)) (mが奇数のとき)
が得られる。

…とありますが、計算間違いをしているのか、後一歩で辿り着けません。

私の計算
(1/2) ∫[0,π] sin mt dt - (1/4) {∫[0,π] sin (2+m)t dt - ∫[0,π] sin (2-m)t dt}
=(1/2) [(1/m) (-cos mt)][0,π] - (1/4) { [(1/(2+m)) (-cos (2+m)t)][0,π] - (1/(2-m)) (-cos (2-m)t)][0,π] }
=(-1/2m) [cos mt][0,π] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos (2+m)t][0,π] + (1/(2-m)) [cos (2-m)t][0,π] }
=(-1/2m) [cos πm - cos 0] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos (2π+πm) - cos 0] + (1/(2-m)) [cos (2π-πm) - cos 0] }
=(-1/2m) [cos πm - cos 0] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos πm - cos 0] + (1/(2-m)) [cos πm - cos 0] }
=(-1/2m) [(-1)^(2m-1) - 1] - (1/4) { (-1/(2+m)) [(-1)^(2m-1) - 1] + (1/(2-m)) [(-1)^(2m-1) - 1] }
=[ (-1/2m) - (1/4) { (-1/(2+m)) + (1/(2-m)) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (1/(2-m)) - (1/(2+m)) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2+m)/{(2-m)(2+m)} - (2-m)/{(2-m)(2+m)} } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2+m-2+m)/(2-m)(2+m) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2m)/(4-m^2) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]

…とりあえず、ここまで合っていますでしょうか？
合っていたら、
{ b_m = 0 (mが偶数のとき)
{ b_m = - 4 / (πm(m^2 - 4)) (mが奇数のとき)
まで導いて下さい。
途中で計算間違いがあったらご指摘下さい。
お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

cos πm=(-1)^(m-1)
でmが奇数なら-1でmが偶数なら1だよ。
あとは
(-1/2m) - (1/4) { (2m)/(4-m^2) }
を計算すればよい。
= 2/(m(m^2-4))
になる。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、cos πm=(-1)^mでしたね。
私のでは乗数がすべて奇数になるので、常に-1になるところでした。

(-1/2m) - (1/4) { (2m)/(4-m^2) }
まで合っていてよかったです。
それ以降も自力で出せました。
奇数のときに[(-1)^m - 1]が-2になるので
= 2/(m(m^2-4))
で辻褄が合うんですね。
ありがとうございました。