フーリエ級数を求める課題で…

質問

はじめまして。フーリエ級数を求める課題でつまづいてしまったので、解き方が判る方がいらっしゃればお願いいたします。
途中まで解いてみたものも併記しますので、間違いがあるようでしたら指摘頂ければ幸いです。

問．以下に示す周期２の関数f(t)のフーリエ級数を求めよ。
f(t)=|sin(πt)| (-1<t<=1)

絶対値を外して考えると
　f(t)=
{-sin t (-π<t<=0)
sin t (0<t<=π)}
これをフーリエ変換の基本式
　f(t) = a0 + Σ(n=1→∞)｛an×cos(2πnt/T) + bn×sin(2πnt/T)｝
に対応させると
　a0=0
　cos(nt)=0
より
　f(t) = Σ(n=1→∞)｛bn×sin(2πnt/T)｝
　　　 =2/T × ∫(-T/2→T/2)｛f(t)×sin(2πnt/T)｝dt
　　　 =1/π × ∫(-π→π)｛f(t)×sin(nt)｝dt
　　　 =1/π × ∫(-π→0)｛(-sint)×sin(nt)｝dt × ∫(0→π)｛sint×sin(nt)｝dt

ここまで展開してみたのですが、この積分が解けずにつまずいています。
どなたかお願いいたします。

回答No.2

info22

f(t)=|sin(πt)| (-1<t<=1)
この関数は偶関数なので bn=0 です。

>　a0=0
>　an=0
にはなりません。
>f(t) = Σ(n=1→∞)｛bn×sin(2πnt/T)｝
したがってこんな展開できません。

a0=
an=
を計算して下さい。

なお、三角関数の積の積分は積和公式を使えばできます。

f(t)は周期１の関数となっているので周期T=1としてフーリエ級数展開すべきかと思います。
T=1
a0=∫[0,1]sin(πt)dt
an=2∫[0,1]sin(πt)cos(2nπt)dt(n=1,2, ... )
　=∫[0,1]{sin((2n+1)πt)-sin((2n-1)πt)}dt
bn=0 (n=1,2, ... )
として計算して見てください。
このとき級数は
f(t)=a0+Σ[n=1,∞] an*cos(2nπt)
で表されます。

回答No.1

rnakamra

積分ができるできない以前に途中の変形が複数箇所で間違っています。

>絶対値を外して考えると
>　f(t)=
>{-sin t (-π<t<=0)
>sin t (0<t<=π)}
ここから違います。|sin(πt)|ですから
f(t)=-sin(πt) (-1<t≦0),sin(πt) (0<t<1)
です。勝手に変数を変えてしまってはいけません。変域を変えればすむという問題ではないのです。

>1/π × ∫(-π→π)｛f(t)×sin(nt)｝dt
>=1/π × ∫(-π→0)｛(-sint)×sin(nt)｝dt × ∫(0→π)｛sint×sin(nt)｝dt
これは
1/π ×[∫(-π→0)｛(-sint)×sin(nt)｝dt + ∫(0→π)｛sint×sin(nt)｝dt]
です。

間違えばかり指摘しても仕方が無いので、この積分を実際に計算します。
∫sin(t)*sin(nt)dt
を行うには三角関数の積→和の変換公式を使えばよいでしょう。
sin(t)*sin(nt)=(1/2){cos(t-nt)-cos(t+nt)}=(1/2)[cos}(1-n)t}-cos{(1+n)t}]
これなら問題なく積分できると思います。