方形波 フーリエ級数展開

質問

ｔ＝２のときー１，ｔ＝１のとき１を取る方形波電圧をフーリエ級数で展開するという問題なのですが，
その時の関数g(t)が奇関数なので，
g(t)=Σ(n=1→∞)ａn sin(nwt)　…(1)
と置くと，
ａn=2/T ∫(0→T) g(t) sin(nwt)dtより，
周期T＝２の時
ａn=2/2 ∫(0→2) g(t) sin(nπt)dt
=∫(0→1) g(t) sin(nπt)dt + ∫(1→2) g(t) sin(nπt)dt
=∫(0→1) 1× sin(nπt)dt + ∫(1→2) (-1)× sin(nπt)dt
=[-cos(nπt)/nπ](0→1) - [-cos(nπt)/nπ](1→2)
=-cos(nπ)/nπ - (-1/nπ) -{-cos2nπ/nπ - (-cosnπ/nπ)}
=2(-cosnπ/nπ) + 1/nπ + cos2nπ/nπ　…(2)
n=1の場合（または奇数）
　 (2)=4/π
n≠1の場合（または偶数）
　 (2)=0
よって(1)より，
g(t)=Σ(n=1→∞) 4/π sin(nwt)
=4/π Σ(n=1→∞) sin(nwt)
という風に計算をしたのですが、フーリエ級数はこういう形になりませんよね。積分とフーリエが苦手なものでつっかえながらいろいろな参考書をあさって見たのですが，理解できずにいます。
分かりづらい説明なのですが，改善点等ありましたら，ご指摘頂ければ幸いです。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

（2）の式の後で、n=1(または奇数）の次の式((2)=4/π）が計算間違いではないでしょうか。
分母にnが抜けているのではないでしょうか。

お礼

返信が遅くなり申し訳在りません。
仰る通り分母のｎが抜けていました。（計算し直したらわかりました）
お手数かけてすみません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Duke_Mike

すいません。問題の定義がアヤフヤで厳密に答えられません。
方形波の電圧波形をいうならばDuty比と周期をいってもらえれば
分りますのでそのあたりを記述すべきだと思います。

ですので分る範囲でお答えします。
まず奇関数といっているのでｔ=０のところで立ち上がりもしくは立下りがあるのですね。レポートとしてまとめるなら奇関数の定義をしっかり加えてその様な関数になるという風にいったほうがいいでしょう。

偶関数　f(x)=f(-x)
奇関数　f(x)=-f(-x)

例)　f(x)=x^2 (-x)^2=x^2→∴x^2は偶関数

こういうのを前提に読んでいくと
一般式が4/nπじゃないかな？
(2)式までは合ってるけどその先で間違えているっぽい。

これは読み解くとＤｕｔｙ比１でＴ＝２の方形波ですね。

-----------フーリエ級数に関する理論的な私的な理解-------------
積分もフーリエ級数も最悪アルゴリズムを覚えればいいのですが、
それでは面白くありませんよね。積分は幅が広すぎるので、ここでは
フーリエ級数に関して述べようかと思います。

まずフーリエ級数でやっていくためには関数の直行性というのを知らなければなりません。

あるf(x)とg(x)に対して

∫(0→Ｃ)f(x)g(x)dx=０が成立するときにf(x)とg(x)はそれぞれ直行であるといいます。これがフーリエ級数での変換でのミソです。

フーリエ級数の大前提として
f(x)=Σan sin nx +bn cos nx
で表現できるというものです。
ところここでsin nxと sin mxの直行性が利用できるわけです。
∫(周期)sin nx sin mx=1(m=n)
=0(m≠n)
つまりあるｎ番目の各周波数を持つ正弦波成分Ａsin　nxというのは
sin nx を掛けて積分すると、係数だけ出てくるわけです。
sinに関する他の項はといいますと　
sin(n-1)x sin nx　は(m≠n)ですので消えてしまいます。

つまり積分操作によりある項の係数だけ取り出せるような操作を行っているだけなのです。cosに関しても同じです。

この様に数列的にｎ番の項を規定してその和で表される関数を直行関数といい、この直行性を利用してsinやcosに分解したのがフーリエ級数と言い換えることもできるわけです。sin cosという関数以外にわけた変換もあり、様々な分野でこのようなことが行われています。

理解の助けになれば幸いです。

お礼

返信が遅れてしまい申し訳ありません。
四苦八苦しながらやっと理解できました。フーリエは等差数列のようなものだと思っていたのですが、項の係数だけ取り出せるような操作を行っているだけなのですね。計算が複雑になるとこんがらがっていたのですが、多少すっきりしました。
ご回答ありがとうございました。