y(0)=0、v(0)=0のとき

質問

dy/dx=2sinx-y
y=

dv/dt=g-kv/m
v=

どう求めるかお願いします

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

一問目だけ。とき方は両方とも同じです。

まず、ラプラス変換だと　y(0) = 0 だから

ｓY+Y = 2/(s^2+1) → Y = 2/((s+1)(s^2+1))=(1-s)/(s^2+1)+1/(s+1)
なのでラプラス変換の公式で逆変換すれば直ちに sin(x) - cos(x) + e^(-x)
が求まります。

がちにやるには、まず

dy/dx + y = 0

を解く。これは変数分離系だから

-(1/y)dy = dx

の両端を積分すれば、簡単に解けて

y=Ae^(-x)

定数変化法を使って、Aを定数じゃなくてxの関数ということにし、
元に方程式につっこむと

dA/dx = 2sin(x)e^x

積分すれば A(x)=e^x(sin(x)-cos(x))+C だから y= (sin(x)-cos(x)) + Ce^(-x)
y(0)=0 だから C=1 従って

y= (sin(x)-cos(x)) + e^(-x)

これが教科書どおりの解放です。微分方程式の教科書には必ず載っているので
がんばって復習してみてください。

お礼

教科書に定数変化法はありませんが、覚えました。
二問目は、v=Ae^(-kt/m) を dv/dt=g-kv/m に突っ込んで、A=(mg/k)e^(kt/m)+C
v=mg/k+Ce^(-kt/m)、v(0)=0 だから C=-mg/k、v=(mg/k){1-e^(-kt/m)}

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

まっとうに

y'+P(x)y=Q(x)

の公式を当てはめてゴリゴリ積分すれば解けるけど、
一般的すぎるとき方でちょっとしんどいです。

線形だからラプラス変換が簡単でお勧めです。

sY-y(0)=2/(s^2+1)-Y

sV-v(0)=g/s-(k/m)V

を解けばOKです。

ではでは。

お礼

フーリエ解析の章にラプラス変換があるんですが、まだやってません。ゴリゴリ積分でいいので教えてもらえませんか。