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空気抵抗のある自由落下

 空気中を鉛直線に沿って落下する物体が速度vの2乗に比例する空気抵抗力kv^2を受ける。物体の質量をm、重力加速度をgとして、物体が落下し始めてから時間t経過したときの速度v=f(t)を求めたいのですが、途中から式を上手く展開していけません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。(vの2乗をv^2で表しております) (自分が考えた式)  この物体は重力mgを下方に、空気抵抗力がkv^2が上方に受けるので、運動方程式(質量)×(加速度)=(力)は m・dv/dt = -mg + kv^2  となる。ここから両辺をmで割ると dv/dt = -g + kv^2/m  となり、両辺を(-g+ kv^2/m)で割ると 1/(-g + kv^2/m)・dv/dt = 1  となる。ここで、両辺をtで積分すると ∫1/(-g + kv^2/m)dv = ∫dt + C (Cは任意定数)  となる。  ここから、左辺を上手く展開できません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

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1/(-g+kv^2/m) =(-m/k)/(gm/k-v^2) =(-m/k)/(√gm/k-v)/(√gm/k+v) と因数分解して、さらに部分分数にわけます。すると 1/(√gm/k-v) と  1/(√gm/k+v) の二つの項の積分ですが、積分するとlogが二つでてきて、あとはうまく解けるかどうかの問題です。 頑張ってください! でてきた答えをみてv = √gm/k のポイントがどうなっているのか調べる必要があるかもしれません。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。頑張ってみます

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