• 締切済み

空気抵抗がある場合の物体の落下時間

ただいま課題を与えられていて、面積Sの円盤を飛行機から自由落下(Y方向の初速度=0)させたときの地面に到達するまでの時間を計算しています。 投下地点からxを下向きを正にとり、xメートル落下するまでにかかる時間を求めたいのです。t=f(x)という形で表したいということです。 空気抵抗は次式で求められます。       F=P*C'*S*V^2/2 F:空気抵抗、P:空気密度、C':空気抵抗係数 S:投影面積、V:速度 空気抵抗Fと速度はxの関数ですので、上式はxの関数であるものを示すと以下のようになります。(密度Pもxの関数でしょうが、どのような関数になるかわからないので定数とします) F(x)=P*C'*S*V(x)^2/2 定数と分母の2をまとめてCとおきます。 F(x)=C(dx/dt)^2 これを運動方程式に代入すると mg-C(dx/dt)^2=m(d2x/dt2) これを解けばt=f(x)が求められるのですが、この二次の運動方程式が解けなくて困っています。 どなたかご存知の方いらっしゃいますでしょうか? 終端速度は F(t)=mg ⇔ (dx/dt)^2=mg/C ⇔  dx/dt=(mg/C)^1/2 と求められます。 距離が長い(高度1万メートルからの落下を想定)のでこれで近似をしようかと思ったのですが、終端速度までにかかる時間が分からずに困っています。近似するにも根拠を示すことができません。 以上、よろしくお願いいたします。 このような問題に詳しい方がいらっしゃいましたら、空気の密度Pをxの関数として考えていただけるとさらに助かります。

みんなの回答

  • okada2728
  • ベストアンサー率22% (13/58)
回答No.1

mg-C(dx/dt)^2=m(d2x/dt2) からdx/dt=yと置いて式を整理すると y'=(C/m)(mg/C-y^2) となって、あとは変数分離で解けばよいのではないでしょうか。

ajifly_85
質問者

お礼

ありがとうございます。 上記の方法を試してみたのですが、 y'=(C/m)(mg/C-y^2) を解くとTan-1(y’)という形が出てきて解けませんでした。 Mathematicaで微分方程式が解けたことを思い出し、結局Mathematicaで解いてしまいました。

関連するQ&A

  • 空気の抵抗力

    空気中を落下する物体は、速さvまたはvの2乗に比例する抵抗力 を受ける。物体の速度が増加して、空気の抵抗力と重力の大きさ が等しくなった後は物体の速さは一定である。このときの速さを 終端速度と言う。比較的小さな物体がゆっくり落下する場合は 速さvの二乗に比例する抵抗力を受ける。このときは f=kv   Vt(終端速度)=mg/k 私の国語力がないためか、上の文章を理解できません。 空気の抵抗力と重力の大きさが等しくなるというイメージが沸きません 。また、そうなったらどうして速度は一定なのでしょうか。重力加速度 はどんどん増加しますよね。 さらに、終端速度とは比較的"速いスピード"で落下している物体の 「空気の抵抗力と重力の大きさが等しくなった後の一定の速度」の 事を言うのですよね。なのにどうして、 「比較的小さな物体がゆっくり落下する物体」の終端速度が存在する のでしょうか。 P.S. Vt(終端速度)=mg/kもどうしてこれが導き出されるのか分かりません。

  • 空気抵抗の式について

    空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。       F=P*C*S*V^2/2 F:空気抵抗、P:空気密度、C:空気抵抗係数 S:投影面積、V:速度 私なりに考えますと、投影面積(S)に速度(V)をかけてさらに空気密度をかけることで移動した空気の質量が求られ(S*V*P)、その空気は毎秒静止状態から速度Vまで加速されるので加速度がVとなり、力は質量と加速度の積より空気の密度*加速度となり(P*S*V^2)、結局Fは空気抵抗係数を式に加えることで、       F=P*C*S*V^2 となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・ 宜しくお願い致します。

  • 空気抵抗のある自由落下

     空気中を鉛直線に沿って落下する物体が速度vの2乗に比例する空気抵抗力kv^2を受ける。物体の質量をm、重力加速度をgとして、物体が落下し始めてから時間t経過したときの速度v=f(t)を求めたいのですが、途中から式を上手く展開していけません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。(vの2乗をv^2で表しております) (自分が考えた式)  この物体は重力mgを下方に、空気抵抗力がkv^2が上方に受けるので、運動方程式(質量)×(加速度)=(力)は m・dv/dt = -mg + kv^2  となる。ここから両辺をmで割ると dv/dt = -g + kv^2/m  となり、両辺を(-g+ kv^2/m)で割ると 1/(-g + kv^2/m)・dv/dt = 1  となる。ここで、両辺をtで積分すると ∫1/(-g + kv^2/m)dv = ∫dt + C (Cは任意定数)  となる。  ここから、左辺を上手く展開できません。どなたかこの式の続きの展開でも構いませんし、速度v=f(t)を求める他の方法でも構いませんので、教えていただけないでしょうか。宜しくお願い致します。

  • 空気中の物体の落下

    空気の抵抗がある場合の、物体の落下速度を微分方程式で求めるさい、変数の変換がわからないので質問します。 運動速度がそれほど大きくないか、物体の大きさがそれほど大きくないときは、抵抗力はスピードに比例することが知られている。そこで質量mの物体を自由落下させ、時刻tにおける速度を下向きにvとしよう。この物体に働く力は、下向きの重力mgと、上向きの抵抗力kv(kは比例定数)である。よって、ニュートンの運動方程式 力=質量*加速度 により、mg-kv=m(dv/dt)・・・(1)という微分方程式がなりたつ。(1)を解いてみよう。変形して、 -k{v-(m/k)g}=m(dv/dt)そこでv-(m/k)g=u・・・(2)とおくと、ここがわからないところです。m(du/dt)=-kuになるのですが、なぜdv/dtがdu/dtになっているかが、あいまいです。自分では(2)の(m/k)gが定数で、両辺をtで微分すると左辺がdv/dt、 右辺が(d/dt)u=(d/du)u(du/dt)=1*(du/dt)なので、dv/dt=du/dtだと思いました。自分の考えが間違っていたら、訂正をおねがいします。

  • 抵抗がある場合の自由落下問題を教えてください

    空気中を質量mの質点が自由落下する場合に、鉛直下方に働く重力(mg)と、速度に比例した空気抵抗(-cv:cは比例定数)が働くものとする。 1.鉛直下方にx軸の向きをとり、質点の運動方程式を書け。 2.t=0での速さを0とし、運動方程式を解いて、時刻tにおける速度v(t)を求めよ。 3.質点の終端速度 v∞=lim t→∞ v(t)を求めよ。 4.空気抵抗が無くなる極限c→0において、速度はgtになることを示せ。 という問題が分からないです。 合ってるか分からないですが図を書いてみました。図の右側にあるのは3.のlimの表記です。解答例と答えを教えてください。 特に4.が分からなくて困ってます。私が出した1-3の答えは 1. ma = mg - cv 2. v = (mg/c)(1 - exp(-ct/m)) 3. v∞ = mg/c です。

  • 空気抵抗のある自由落下について考えているのですが…

    空気抵抗をkv^2として運動方程式をm(dv/dt)=mg-kv^2と立てて、これを解いたらv=V∞tanh(gt/V∞)となったのですが、この式をt=の式に変形をしたいのです。どなたかt=の式に変形できる方がいましたら教えてください。(V∞は終端速度です。)

  • 微分方程式で式の変形 空気抵抗を受ける物体の落下

    質量mの物体が速度の2乗に比例する空気の抵抗を受けながら落下する問題を考えよう。 鉛直上向きにy軸をとり、時間をtとすると、速度はdy/dtで表される。重力加速度の大きさをg, 抵抗力を係数をkとすると、運動方程式は次のようになる。 m (d^2y)/(dt^2) = -mg + k(dy/dt)^2 この方程式にはyが含まれていない。 速度を v = dy/dt とおけば、(d^2y)/(dt^2) = dv/dt であるから、運動方程式(2.19)は次のようにvについての1階の微分方程式に帰着される。 dv/dt = -g + k/m v^2     (2.20) この微分方程式は、次のように変数分離形の1階常微分方程式であり 1/ (v^2 - mg/k) dv/dt = k/m 両辺をtで積分すると 1/{2√(mg/k)} ∫[1/{(v-√(mg/k)} - 1/{(v+√(mg/k)}] dv = k/m ∫dt log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C     (2.21) ここで、t=0 で v=0 として物体の落下だけを考えることにすると、y軸は鉛直上向きを正の方向としているので t>0 では v=dy/dt<0 dv/dt<0 となる。 したがって、式(2.20)から0<-v<√(mg/k)であることがわかり、式(2.21)からvは次のようになる。 v=dy/dt = -√(mg/k) * [1-e^{-2√(kg/m)t - C}] / [1+e^{-2√(kg/m)t - C}]     (2.22) ・・・と本に書いてあるんですが、どうやってこの(2.22)を導き出したのかが分かりません。 勘でやってみますと、 log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = 2√(kg/m)t + C     (2.21) の両辺でeをとって e^[log |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}|] = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}/{v+√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} |{v-√(mg/k)}| = e^{2√(kg/m)t + C} * |{v+√(mg/k)}| やっぱり分かりません。教えてください。お願いします。

  • 空気抵抗が速度の自乗に比例する場合の運動方程式

    自然落下する物体があり、その物体のt秒後の速度は速度が遅いうち(空気抵抗が速度に比例している時)は      m・dv/dt=mg-kv  mは物体の質量、gは重力加速度、kは空気抵抗定数。 という運動方程式を解いて   v=[mg-exp{-k(t+C)/m}]・1/k という一般解を得ます。(Cは積分定数) ここまではできるのですが、この先の空気抵抗が速度の二乗に比例するばあいの運動方程式    m・dv/dt=mg-kv^2 を解くことができないのです。解こうとしてもどうしても、途中で    -log|mg-kv^2/C|/2kv=t/m  という形になってしまい解くことができません。logの中にvが含まれていて、さらにlogの外にvのある形をv=の形に直せません。強引にv=の形に直せますが、両辺にvが現れてしまい解いたことになりません。 どうすればいいのでしょうか? 余談ではありますが、A=xlogx のx=への変形のしかたや、B=exp(x)+x のx=への変形のしかたを教えてくれると幸いです。

  • 空気抵抗がかかるときの落下運動

    空気抵抗がかかるときの落下運動、もしくは放物運動に 関しての質問です。 抵抗力が速度に比例する場合は、変数分離法を用いて微分 方程式を解くことができるのですが、 抵抗力が速度の2乗に比例する場合の微分方程式が解けませ ん。具体的には次の式です。 ma = -kv^2 + mg a:加速度 v:速度 この式の解法をよろしくお願いします。

  • 抵抗が速度の二乗に比例する終端速度について

    落下させた場合 mdv/dt=mg-cv^2 の運動方程式を積分して終端速度がv=√mg/cになるのはわかるのですが、 もし初速度v0を与えてそれが√mg/cより大きい場合を計算すると 終端速度v=(v0+√mg/c)/2でいいのでしょうか? 計算するとこうなるのですが、運動方程式でdv/dt=0として計算すると√mg/cとなり初速度がなくても答えはかわりませんでした。 初速度を与え、それが与えない場合の終端速度より大きい場合の終端速度について教えてください。