私の計算結果のxの次数が+1だけズレる

質問

次の微分方程式の基本解を級数による解放で求めよ。
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0

解
　　　　　y1 = 1 + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * x^3m
　　　　　y2 = x + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * x^(3m+1)

解き方
y = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i と級数展開して、

　　　　　dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2)

を微分方程式に代入し、xの次数ごとに係数の条件を導く。

与えられた微分方程式

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0

は

　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - x * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0

となる。
まず、定数項 = 0 から

　　　　　a[2] = 0

更に、xの次数ごとに係数が0になることから、次の関係式を得る。

　　　　　(n+3)(n+2) * a[n+3] - a[n] = 0　　　　　(n = 0,1,2,...)

以上のことより、

・・・と続くのですが、
　　　　　(n+3)(n+2) * a[n+3] - a[n] = 0　　　　　(n = 0,1,2,...)
の計算結果のxの次数が+1だけズレます。

　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] (i+1)i * a[i+1] * x^(i-1) - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　(0+2)(0+1) * a[0+2] * x^0 + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　(2)(1) * a[2] * (1) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　2a[2] + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
ここで、a[2] = 0 より
　　　　　2(0) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] { (i+2)(i+1) * a[i+2] - a[i-1] } x^i = 0
　　　　　Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^(i+1) = 0

「xの次数ごとに係数が0になる」ので、
i=0のときはxの係数が0、i=1のときはx^2の係数が0、・・・という具合に、別に1つくらいズレていても0は0だと思うのですが、何かあまりスッキリしません。
やっぱりi=nのときにx^nの係数が0、と言いたいですよね？

そこで質問です。
私は計算間違いをしているのでしょうか？
もしくは、もし仮に私の計算が正しいとしたら、この次数のズレを無くす方法／自分を納得させる方法はありませんか？
では、お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

多項式 f に対して、
f(x) が恒等 0 であることと
x f(x) が恒等 0 であることは、
同値。
巾級数でも、同じこっちゃ。

お礼

ありがとうございます。
確かにそうですね、既に0のものにxを何乗掛けても0ですものね。納得しました。
それより、巾級数って書いて「べききゅうすう」って読むんですね。知らなかったです。
ありがとうございました！