ブロック行列の計算

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このQ&Aのポイント
  • ブロック行列の計算において、PとP^(-1)行列を用いて計算を行うことができます。
  • また、Π行列を導入することで、Pの時間微分を計算することができます。
  • ただし、-・Xの要素については具体的な計算方法は不明です。
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ブロック行列の計算

ブロック行列の計算 P:=[Y N] P^(-1):=[X M] 　 [N~ Z]　　　　　[M~ W] ~は転置を表し N M W X Y Zは時間微分可能です 新たに Π:=[X I] 　　[M~ 0] Iは単位行列,0は零行列です このとき Π~PΠ=[X I] 　　　　　 [I Y] これは計算して実際こうなること確かめたんですが Pの時間微分を・Pとして（他の変数でも・で書きます Π~・PΠ=[　-・X　　X・Y+M・N~] 　　　　　　[・YX+・NM~　　・Y　 ] こうなるらしいですが -・Xのところが出せません _12 _21 _22要素のものは実際これになりましたが どのような作業をすればこうなるんでしょうか

質問者が選んだベストアンサー

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noname#191718
noname#191718
回答No.2

(AB)'=A'B+AB'を使います PP^(-1)=I両辺をtで微分して P'P^(-1)+P{P^(-1)}'=0です 移項して P^(-1)を左から掛ければ P^(-1)P'P^(-1)={P^(-1)}' これを計算すればでるんじゃないですか？ 正確な計算はしてませんがだいたいあってるような結果がでました 微分をした数式や、 各要素の関係を示した(微分)方程式が無くとも計算できます

anisakis
質問者

お礼

返事遅れてすみません やっと理解することができました ありがとうございました

その他の回答 (1)

回答No.1

問題文について、不明な所があるので、ここに書きます。 問題点（１） 　一行目(上の行)の式が、きれいに出ません。与式を計算 したところ、問題文の、下から４・５行目の式や、８・９ 行目の式と違う式になってしまいました。 問題点（２） 　行列の微分も曖昧で、問題の説明が不十分です。問題の 文中には、微分の記号の説明しかなく、微分をした数式や、 各要素の関係を示した(微分)方程式が有りません。 　それから、下から４・５行目の式で、２行２列(左下)の 要素が ・Y(Yの微分)と書かれています。与式を計算すると、 左下には、X が入るのですが、X や Y の説明なしに、なぜ 突然 X = Yの微分 となるのでしょうか。また、問題文で、 ８行目から、突然 Y = Yの微分 となりますが、なぜでしょ うか。 　　　Π～　Ｐ　Π　 ＝　（　Ｘ　　Ｍ～　　（　Ｘ　　Ｍ　　　（　Ｘ　　Ｉ 　　　　Ｉ　　０　）　　　Ｍ～　Ｗ　）　　　　Ｍ～　０　）　 ＝　（　Ｘ＾２　＋　Ｍ～　＾２　　　ＸＭ　＋　Ｍ～　Ｗ　　　　（　Ｘ　　Ｉ 　　　　　　　　　Ｘ　　　　　　　　　　　　　Ｍ　　　　　　　）　　　Ｍ～　０　） ＝　（　Ｘ＾３　＋　Ｍ～　＾２　Ｘ　＋　Ｘ　Ｍ　Ｍ～　＋　Ｍ～　Ｗ　Ｍ～　　　　　　Ｘ＾２　＋　Ｍ～＾２ 　　　　　　　　　Ｘ＾２　　＋　Ｍ　Ｍ～　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ　　　　　　　） また、Ｐ　の定義より、　　Ｐ　　＝　（　Ｙ　　Ｎ　）　　　Ｐ＾（-１） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ～　Ｚ　 なので、　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ｐ　　＝　（　Ｙ　　Ｎ　）　　　Ｐ＾（-１）　　　Ｐ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ～　Ｚ　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　（　Ｙ　　Ｎ　）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｎ～　Ｚ　 Ｐ　Ｐ　　　＝　（　Ｘ＾２　＋　Ｍ　Ｍ～　　　　Ｘ　Ｍ　＋　Ｍ　Ｗ　　　　　＝　（　Ｙ　　Ｎ　）　 　　　　　　　　　　Ｍ～　Ｘ　＋　Ｗ　Ｍ～　　　Ｍ～　Ｍ　＋　Ｗ＾２　）　　　　　　Ｎ～　Ｚ　 ですが、この各要素（分割行列）、Ｙ　Ｎ　Ｎ～　Ｚ　を　Π～　Ｐ　Π　に代入すると、 Π～　Ｐ　Π　＝　（　　　　　？　　　　　　　　？？？　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ　　　　　　　　　Ｘ　　　　）　　となります。 　上の行の式が、きれいに出ません。与式の計算の結果、 問題文の、下から８・９行目の式とは違う式になってし まいました。 　行列の微分も曖昧で、問題の説明が不十分です。問題の 文中には、微分の記号の説明しかなく、微分をした数式や、 各要素の関係を示した（微分）方程式が有りません。 参考までに、 １） １００万　×　１００万　の行列、Ａ　Ｂ　Ｃ　を四分割して５０万　×　５０万　 の行列のブロックを作っても、積の値は同じです。 Ａ　Ｂ　＝　Ｃ　　　＜---＞　　（Ａ１　Ａ２　　　（Ｂ１　Ｂ２　　　＝　（　Ｃ１　Ｃ２　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ３　Ａ４）　　　Ｂ３　Ｂ４）　　　　　　Ｃ３　Ｃ４　）　 ｃ（ｉｊ）　＝　Σ　ａ（ｉｘ）　・　ｂ（ｘｊ）　の定義の式で、確認をして下さい。 ２） 行列の微分も、普通の式を積するのと、ほぼ同じです。 （　ｘ１（ｔ）　　Ｙ１（ｔ）　）　＝　（　ｘ０（ｔ）　　ｙ０（ｔ）　）（　ｃｏｓ　θ（ｔ）　　　-ｓｉｎ　θ（ｔ）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｓｉｎ　θ（ｔ）　　　　ｃｏｓ　θ（ｔ）　）　 この式を微分して、自分で確認をして下さい。

anisakis
質問者

補足

書き方がまずかったです申し訳ありません P:=[Y N] 　 [N~ Z] P^(-1):=[X M] 　　　　　[M~ W] ということです あと教科書には書いてませんでしたが Y Z X Wはそれぞれ対称行列だと思います また逆行列の性質から P^(-1)P=I [X　　M[Y　　N]=[I　0] [M~　W][N~　Z]　[0　I] XY+MN~=I　　XN+MZ=0　　M~Y+WN~=0　　M~N+WZ=I Π~は [X　M] [I　0] と転置するとM~がMになると思うんですけど違いますか？ なると仮定して話をすすめると Π~P= [X　M][Y　N] [I　0][N~　Z]= [XY+MN~　XN+MZ] [　Y　　　　N　]= [I　0] [Y　N] [I　0][X　I] [Y　N][M~　0]= [X　I] [YX+NM~　Y]= [X　I] [I　Y]（YX+NM~=Iは　PP^(-1)を計算すれば出ると思います） またPの微分は各成分を時間微分したもので問題ないと思います この微分の関係を示したものはありません ・P= [・Y　・N] [・N~　・Z] これで話をすすめるとΠ~　・P　Πの _12 _21 _22成分はそれぞれ なるであろう形と合致します

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