行列

質問

Mを実対称行列とし、x_1,,,x_nをMの正規直交の固有ベクトルでc_1>=...>=c_nをMの固有値とします。
このとき、x ∈<x_1,,,x_i>で、((x(転置))Ax)/((x(転置))x)=c_iのとき,
Mx=c_ixになるのはなぜですか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

x 方向の単位ベクトルを e = a1x1+a2x2+…+aixi と置いて、
x = ｜x｜e を ((転置x)Ax)/((転置x)x) = ci へ代入すると、
c1a1a1+c2a2a2+…+ciaiai = ci が得られる。

e が単位ベクトルであることより、a1a1+a2a2+…+aiai = 1 でもある。

この二つの式から aiai = 1 が言えないか？という問題。

c1＞c2＞…＞ci であることを使って、
c1a1a1+c2a2a2+…+ciaiai の最小値を考えれば、解る。

aiai を改めて Ai とでも名付けると、見よいかも知れない。
Ai≧0 に注意して。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

これ、固有値の定義そのままですけど
疑問はなんでしょう?

回答No.1

Tacosan

<x_1,,,x_i> ってなんですか?