3m+2の場合の基本解は不要ですか？

質問

次の微分方程式の基本解を級数による解放で求めよ。
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0

解
　　　　　y1 = 1 + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * x^3m
　　　　　y2 = x + Σ[m=1,∞] 1/[ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * x^(3m+1)

解き方
y = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i と級数展開して、

　　　　　dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2)

を微分方程式に代入し、xの次数ごとに係数の条件を導く。

与えられた微分方程式

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - xy = 0

は

　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - x * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0

となる。
まず、定数項 = 0 から

　　　　　a[2] = 0

更に、xの次数ごとに係数が0になることから、次の関係式を得る。

　　　　　Σ[i=2,∞] i (i-1) * a[i] * x^(i-2) - Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i+1) = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] (i+1)i * a[i+1] * x^(i-1) - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　(0+2)(0+1) * a[0+2] * x^0 + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　(2)(1) * a[2] * (1) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　2a[2] + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
ここで、a[2] = 0 より
　　　　　2(0) + Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i - Σ[i=1,∞] a[i-1] * x^i = 0
　　　　　Σ[i=1,∞] { (i+2)(i+1) * a[i+2] - a[i-1] } x^i = 0
　　　　　Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^(i+1) = 0
　　　　　x * Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^i = 0
両辺をxで割って
　　　　　Σ[i=0,∞] { (i+3)(i+2) * a[i+3] - a[i] } x^i = 0

　　　　　(n+3)(n+2) * a[n+3] - a[n] = 0　　　　　(n = 0,1,2,...)

以上のことより、nが3の倍数の場合、n=3m (m=1,2,3,...)として

　　　　　a[3m] = 1 / [ 3m(3m-1) * 3(m-1){3(m-1)-1} * ... * 3(2) ] * a[0]
　　　　　　　　　= 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * a[0]　　　　　(m = 1,2,3,...)
から、a[0]を初項として1つの基本解
　　　　　y1 = a[0] + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * a[0] * x^(3m)　　　　　(m = 1,2,3,...)

を、また、nが(3の倍数+1)の場合、n=3m+1 (m=1,2,3,...)として

　　　　　a[3m+1] = 1 / [ (3m+1)3m * {3(m-1)+1}3(m-1) * ... * 4(3) ] * a[1]
　　　　　　　　　= 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * a[1]　　　　　(m = 1,2,3,...)
から、a[1]を初項としてもう1つの基本解
　　　　　y2 = a[1] + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * a[1] * x^(3m+1)　　　　　(m = 1,2,3,...)

を得る。a[0] = 1, a[1] = 1 とすると、

　　　　　y1 = 1 + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m-1){3(m-1)-1} * ... * 2 ] * x^(3m)　　　　　(m = 1,2,3,...)
　　　　　y2 = 1 + Σ[m=1,∞] 1 / [ 3^m * m! * (3m+1){3(m-1)+1} * ... * 4 ] * x^(3m+1)　　　　　(m = 1,2,3,...)

となる。

・・・と本に書いてあります（少し加筆してます）。
ここまで計算は出来ているんですけど、計算の意味をよく理解できていません。
特に、n = 3m の場合と n = 3m+1 の場合はありますけど、n = 3m+2 の場合の基本解は必要ないのですか？　それって、

　　　　　y = 1 + x + 3x^3 + 12x^4 + 6x^6 + 42x^7 + ...

というように「x^2, x^5, x^8, ... の係数は0になる」ということですか？
それとも、別にもう1つ基本解を増やそうと思ったら、n = 3m+2 の場合も追加できるものなんですか？
どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>まず、定数項 = 0 から
>　　　　　a[2] = 0
↑ここに注目。

お礼

ああ、なるほど。n = 3m+2 の場合は0なので「なし」ですね。
自分で書いてても結構気付かないものなのです。(^^ゞ

あと、自己訂正です：
y = 1 + x + 3x^3 + 12x^4 + 6x^6 + 42x^7 + ...
　　　　　　　　　　↓
y = 1 + x + 6x^3 + 12x^4 + 30x^6 + 42x^7 + ...
のはずですね、きっと。

素早いご指摘、ありがとうございました！