Σの絡んだ導関数の求め方

質問

微分方程式　(d^2 y)/(dx^2) - y = 0　の級数解について次の問に答えなさい。

(1) 級数解を y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i とおいたとき、係数 a[i] について漸化式を求めよ。ただし、a[0] ≠ 0 であるとする。

解答
　　　　　y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)

・・・とまだまだ続くのですが、この
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
の
　　　　　Σ[i=0,∞]
は
　　　　　Σ[i=2,∞]
の間違いじゃないんですか？
ただそうなると、これを基にこの後の計算も書かれているので、辻褄が合わなくなりますけど…。

この章の最初にこういう記述があります：

　　　　　y(x) = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i

を項別に微分すると、1次および2次の導関数は次のようになる。

　　　　　dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)　　　　　←このi=1になる理由を明確にしたい
　　　　　　　　　= Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i(i-1) * a[i] * x^(i-2)
　　　　　　　　　　　　　　= Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i

この
　　　　　dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
で
　　　　　Σ[i=1,∞]
になるのは、0次（定数）の部分がどんな数字だろうが微分すると０になって消えて無くなってしまうからですよね？そして今まで1次だった係数が0次の係数に成り下がる・・・こんなイメージで良いでしょうか？そういう理解の下、これに沿って、今回の質問の計算をしてみますと、

　　　　　y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i

　　　　　dy/dx = { x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i }'
　　　　　　　　　= { Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i) }'
　　　　　　　　　= Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)

　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = { Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1) }'
　　　　　　　　　　　　　　= Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(c+i-2)
　　　　　　　　　　　　　　= x^c * Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)

・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか？
それとも私の計算が間違っていますか？そうだとしたら正しい説明を教えてください。お願いします。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

>y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i=Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i)

>dy/dx={Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i) }'=Σ[i=0,∞] a[i] * {x^(c+i)}'

>=Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)←ここがちがいます

=Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)←正しくは

なぜi=1としてはいけないかと言うとi=0のときc+i=cでこれ0とは限らず，残ります．c=0ならc+i=i=0となり残らないのでi=1としてよいのですが，cがあるため勝手にi=1にしてはいけません．

したがって，

>(d^2 y)/(dx^2)= x^c * Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)

とはならず，

d^2y/dx^2=Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * {x^(c+i-1)}'

=Σ[i=0,∞] (c+i) (c+i-1)* a[i] * x^(c+i-2)

となります．

このような間違いはΣをはずすとよくわかります．

f(x)=Σ[i=0,∞]x^i

を項別微分すると

f'(x)=Σ[i=1,∞]ix^(i-1)

となります．これをΣをはずしてみると

f(x)=1+x+x^2+x^3+・・・

を項別微分すると，i=0の項x^0=1が消え，

f'(x)=1+2x+3x^2+・・・

となります．次に

f(x)=x^cΣ[i=0,∞]x^i=Σ[i=0,∞]x^(c+i)

=x^c+x^(c+1)+x^(c+2)+・・・

を項別微分すると

f'(x)=cx^(c-1)+(c+1)x^c+(c+2)x^(c+1)+・・・

=Σ[i=0,∞](c+i)x^(c+i-1)

となって消える項はありません．

お礼

ありがとうございます。

>なぜi=1としてはいけないかと言うとi=0のときc+i=cでこれ0とは限らず，残ります．c=0ならc+i=i=0となり残らないのでi=1としてよいのですが，cがあるため勝手にi=1にしてはいけません．

> f(x)=x^cΣ[i=0,∞]x^i=Σ[i=0,∞]x^(c+i)

> =x^c+x^(c+1)+x^(c+2)+・・・

> を項別微分すると

> f'(x)=cx^(c-1)+(c+1)x^c+(c+2)x^(c+1)+・・・

> =Σ[i=0,∞](c+i)x^(c+i-1)

> となって消える項はありません．

…これでやっと理解できました。
つまり、本の最初の記述は「たまたま」0次の項が0になるのでi=1にしても差し支えない、という理由でi=1にしていたわけですね。別に0の部分を気にしなければ、i=0のままでもよかったんですね（この部分はNo.3さんの回答を読み返して分かりました）。
しかし今回は、仰る通り、c=0という特別な場合でもない限り、0次の項にcが残るのでi=1には出来ないということですね。スッキリしました。
ありがとうございました。

回答No.3

MarcoRossiItaly

＞Σ[i=1,∞]
　になるのは、0次（定数）の部分がどんな数字だろうが微分すると０になって
　消えて無くなってしまうからですよね？そして今まで1次だった係数が0次の
　係数に成り下がる・・・こんなイメージで良いでしょうか？

はい、そうですね。良いと思います。微分するごとに項数が減っていくわけですね。

ただ、Σ[i=0,∞] のままにしておいても別に問題ありません。理由は、次のとおり。

dy/dx = Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = 0・a0・x^(0-1) + Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = Σ[i=0,∞]i・a[i]・x^(i-1)

もっと言えば、その計算の次の行で「Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i」と書かれていますが、i = -1 と書いてあったって間違いではありません。

＞・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか？
　それとも私の計算が間違っていますか？

この場合は、残念ながら、質問者さんの間違いのようです。

Σ の前に x^c が掛けてあるので、最低次数が何乗なのかは、変数としてしか分かりません。y(x) の 最低次数の項とは、x^c × a0 × x^0 = a0・x^c だから、最低次数は c です。つまり 2 回の微分をするごとに項数が減っているのかどうかは、c に具体的な値を与えない限り、不明と言うことです。したがって勝手に i の値を増やす（項数を減らす）わけにはいきません。

上の計算で説明したとおり、微分するごとに項数が減るような c であったとしても、i の数は増やさないで（項数を減らさないままの形で）式を書くこともできます。ゼロをかけてしまえば、x^(-2) でも x^(-1000) でもゼロになってしまうわけで、項数は何個でも増やすことができるからです。

お礼

ありがとうございます。
そうですね、
dy/dx = Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = 0・a0・x^(0-1) + Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = Σ[i=0,∞]i・a[i]・x^(i-1)
の部分が重要だと思います。x^cが前に付いた場合だと、この　0・a0・x^(0-1)　の部分がどうなるのか想像できませんでした。

>もっと言えば、その計算の次の行で「Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i」と書かれていますが、i = -1 と書いてあったって間違いではありません。

なるほど、a[i+1]なのでi=-1だとa[0]ですね。

>つまり 2 回の微分をするごとに項数が減っているのかどうかは、c に具体的な値を与えない限り、不明と言うことです。したがって勝手に i の値を増やす（項数を減らす）わけにはいきません。

ここの部分の説明は、正直、ある程度まで理解できたんですけど、cが幾つならどうなるのか想像できませんでした。ただ、No.4さんの回答を読んでからやっと理解できました。回答を支持しておきます。
ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

y(x)=x^c*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i
y'(x)={cx^(c-1)}*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i
+x^c*{Σ[i=1,∞]ia[i]*x^(i-1)}
={cx^(c-1)}*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i+x^(c-1)*Σ[i=1,∞]ia[i]*x^i
=x^(c-1)*{Σ[i=0,∞]c*a[i]*x^i+Σ[i=0,∞]ia[i]*x^i}
=x^(c-1)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
y''=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-1)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^(i-1)
=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-2)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i
=x^(c-2)*{(c-1)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i}
=x^(c-2)*{Σ[i=0,∞](c-1)*(c+i)*a[i]*x^i
+Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i}
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞]{(c-1)*(c+i)+i*(c+i)}*a[i]*x^i
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*{(c-1)+i}*a[i]*x^i
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*(c+i-1)*a[i]*x^i
=x^c*Σ[i=0,∞](c+i)*(c+i-1)*a[i]*x^(i-2)
で間違い無し。
Σ[i=1,∞]ia[i]*x^i=Σ[i=0,∞]ia[i]*x^i
に注意されたい。展開すれば歴然でしょう。

お礼

ありがとうございます。
私も最初はその方法で解こうと思ったんですけど、途中で複雑になって辞めてしまいました。
それと、皆様の回答を読むまでは、二回目の微分の
y''=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-1)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^(i-1)
…の部分でΣ[i=0,∞]でいいのか判断がつきませんでした。
でも今は分かるようになりました。
ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか？
なりません。

>それとも私の計算が間違っていますか？そうだとしたら正しい説明を教えてください。
間違っています。
以下のようにx^cをΣの中に入れてから、単純に2回微分すれば、簡単に結果の式が導けるかと思います。

y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
　=Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i)

dy/dx = Σ[i=0,∞] a[i] * {x^(c+i) }'
　　　= Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(c+i-1)

(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * {x^(c+i-1) }'
　　　= Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(c+i-2)
　　　= x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)

但し、c≧2とします。

お礼

ありがとうございます。
実はその「単純に2回微分すれば」の部分が疑問だったんですよね。皆様の回答を読むまでは（何故かよく分からないけどとりあえず）i=0 → i=1 → i=2にしないといけないと思っていました。
ありがとうございました。

補足

回答者の皆様、しばらくお待ち下さい。m(__)m