OA↑・OB↑≦OP↑・OQ↑≦OA↑・OA↑

質問

xy平面でA(-1,2)とB(2,-1)を結んで出来る線上に点P、Qがあるとき
OA↑・OB↑≦OP↑・OQ↑≦OA↑・OA↑
が成り立つらしいのですがこれは何故でしょうか？

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

OA↑を a などと略記。
題意から、h, k を定数としてp, q は、
　p = a + h*(b-a)
　q = a + k*(b-a)
と表せる。

問題の内積たちは、
　(a・a) = 5
　(a・b) = -4
　(p・q) = {a + h*(b-a)}・{a + k*(b-a)}
　= (a・a) + k*[a・(b-a)] + h*[a・(b-a)] + hk*[(b-a)・(b-a)]
　= (a・a) + k*(a・b) - k*(a・a) + h*(a・b) - h*(a・a) + hk*{(b・b) + (a・a) - 2*(a・b)}
　= (a・a) + (1-k-h+hk)*(a・a) + (k+h-2hk)*{(a・a) + (a・b)}
　= (1-h)(1-k)*{(a・a) + (a・b)} - {(a・a) + (a・b)}
　= (1-h)(1-k) - 1
だろう。

点 P, Q が A, B 間にあるのなら 0≦h, k≦1 だろうから、-1≦(p・q)≦0 であり、
　(a・b) = -4 < (p・q) < (a・a) = 5

問題文が ≦ なのはナぜ？
ワカリマセン。

回答No.4

178-tall

#1 です。

ご指摘ありましたように、(p・q) の勘定は出鱈目でした。

やり直すヒまないので、取り消しておきます。

お礼

わかりました
回答ありがとうございました

回答No.3

Tacosan

「線上」は危険かな. 「線分上」でないと. あと, この問題では関係ないけど最後が OA↑・OA↑ なのも微妙.

基本的には #1 のように処理すればいいです. ただし #1 は何かを間違えている. 少なくとも「-1≦(p・q)≦0 であり」がおかしいのは明らかなので....

お礼

線分上が正しいんですね
失礼しました
ありがとうございました

回答No.2

178-tall

一部訂正。

点 P, Q とも A, B 間にあるのなら 0≦h≦1, 0≦k≦1 だろうから、-1≦(p・q)≦0 であり、