成分表示について

質問

xy平面上に、３点O(0,0),A(5,0),B(2,3)がある。
Aから直線OBに下ろした垂線とBから直線OAに下ろした垂線との交点をPとするとき、点Pの座標と∠AOPを求めよ。また、→OPを、→OA,→OBを使って表せ。

点Pの座標を求めるのにグラフを描いてみたのですが、もっと簡単に求められる方法はありますか？
ベクトルが苦手なので、解き方のヒントだけでも教えていただきたいです。お願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

何だか良く判らないけれども、＃１、＃２様が最後の問題を書いていないので投稿します。

↑OA=(5,0),,,↑OB=(2,3),,,↑OP=(x,y)
＞＞A....OB.....垂線。B.....OA.....垂線。交点P（垂心）。

↑AP=(x,y)-(5,0)=(x-5,y-0),,,↑OB=(2,3)
↑AP・↑OB=0,,,,,
2(x-5)+3y=0,,,,＜2x+3y=10 ＃＞

↑BP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),,,↑OA=(5,0)
↑BP・↑OA=0
5(x-2)+0(y-2)=0,,,＜x=2＞,,,＃に代入して、＜y=2＞

解は↑OP=(x,y)=(2,2)
座標(2,2)から判断して、∠AOP=45度

さすがに、↑OA・↑OP=|↑OA||↑OP|cos∠AOP
(5*2)+(2*0)=5*2√2cos∠AOP
cos∠AOP=1/√2・・・は・・・。

ここまではベクトルを使用しなくても解けるので・・・。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,

＞＞↑OPを、↑OA,↑OB。

↑OP=s↑OA+t↑OBと置いて、座標表示すると、
(2,2)=s(5,0)+t(2,3) となって、
2=5s+2t ＃＃
2=0s+3t より、t=(2/3),,
＃＃に代入して、2=5s+2(2/3),,,s=(2/15)

解は、↑OP=(2/15)↑OA+(2/3)↑OB　となるようです。

回答No.4

kkkk2222

＃３です。

間違えました。訂正します。

↑OP=s↑OA+t↑OBと置いて、座標表示すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑↑
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（訂正）成分表示。

回答No.2

fukuda-h

この問題では座標があるのでベクトルの成分計算。垂直があるので内積=0
を使うのが簡単だと思います。
まず、図を書いて・・・・次に、垂直条件は内積を考えて(→OB)・(→AP)=0の内積を成分で計算します。

P(2,p)とおくと
内積(→OB)・(→AP)=0から成分計算をして
(2,3)・(-3,p)=-6+3p=0
p=2
P(2,2)これで図からわかると思いますが、
OPは直線Y=X上にあるので∠AOP=π/4つまり45°

回答No.1

info22

（→OB）=(2,3)であるから
垂心Pの座標を(2,p)とすると
(→AP)⊥(→OB)より
(→AP)の直線(x,y)=(5-3t,2t)
5-3t=2 すなわちt=1の時,2t=2=p
∴垂心P(2,2)

(→OP)=(2,2)の偏角45°
(→OA)=(5,0)の偏角0°
∠AOP=[(→OP)の偏角]-[(→OA)の偏角]=45°-0°=45°