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三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点を

C、辺OBを３；１に内分する点をＤ，ＡＤとBCの交点をPとする。OAベクトル＝aベクトル、 OBベクトル＝bベクトルとする時、次の問いに答えよ。 (1) AP：PD＝t:1-t(0＜ｔ＜1）とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルとtを用いて表せ。 (2) OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。 (3) 直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:ＥＢを求めよ。 (4) ∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ＡＢを求めよ。

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  • ベストアンサー
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.3

＞ベクトルを↑で表すと (1) AP：PD＝t:1-t(0＜ｔ＜1）とおくとき、OPベクトルをaベクトルとbベクトルと tを用いて表せ。 ＞↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AD=↑a+t{(3/4)↑b-↑a} =(1-t)↑a+(3t/4)↑b・・・答 (2) OPベクトルをaベクトルとbベクトルを用いて表せ。 ＞メネラウスの定理(AC/CO)*(OB/BD)*(DP/PA)=1により (2/1)*(4/1)*(1-t)/t=1を解いてt=8/9 よって、↑OP=(1-8/9)↑a+(3*8/4*9)↑b =(1/9)↑a+(2/3)↑b・・・答 (3) 直線OPと辺ABとの交点をEとする時、AE:ＥＢを求めよ。 ＞メネラウスの定理(AE/EB)*(BO/OD)*(DP/PA)=1により (AE/EB)*(4/3)*(1-t)/t=1 AE/EB=3t/4(1-t)=6/1、よってAE:EB=6:1・・・答 (4) ∠AOB=90°、OPベクトル⊥ABベクトルであるとき、OA:OB:ＡＢを求めよ。 ＞↑AB・↑OP=0だから ↑AB・↑OP=(↑b-↑a)・{(1/9)↑a+(2/3)↑b} =(1/9)↑b・↑a+(2/3)↑b・↑b-(1/9)↑a・↑a-(2/3)↑a・↑b =(2/3)|↑b|^2-(1/9)|↑a|^2=0だから6OB^2=OA^2、OA=(√6)OB OA^2+OB^2=AB^2だからAB^2=7OB^2、AB=(√7)OB、よって OA:OB:AB=(√6)OB:OB:(√7)OB=√6:1:√7・・・答

その他の回答 (2)

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.2

ベクトル記号は省略します。 （１）OP＝OA＋AP 　　　　＝OA＋ｔ・AD　・・・（あ） AD＝OD－OA 　　＝３OB／４－OA　・・・（い） よって（あ）に（い）を代入すると OP=OA＋ｔ（３OB／４－OA) 　　＝（１－ｔ）OA＋３ｔ・OB／４ 　　＝（１－ｔ）ａ＋３ｔ・ｂ／４ （２） CP：PB＝ｓ：１－ｓ　（０＜ｓ＜１）とすると、 OP=OC＋CP 　　＝OA／３＋ｓ・CB　・・・（う） CB＝OB－OC 　　＝OB－OA／３　・・・（え） なので、（え）を（う）に代入すると OP=OA／３＋ｓ（OB-ＯＡ／３） 　　＝（１－ｓ）ＯＡ／３＋ｓ・ＯＢ 　　＝（１－ｓ）ａ／３＋ｓ・ｂ　・・・（お） （１）の結果と（お）は同じベクトルを表しているので 両者におけるａおよびｂの係数は等しい。よって １－ｔ＝（１－ｓ）／３ ３ｔ／４＝ｓ １－ｔ＝（１－３ｔ／４）／３ 　　　＝１／３－ｔ／４ ２／３＝３ｔ／４ ｔ＝８／９、ｓ＝２／３ よって OP=（１－ｓ）ａ／３＋ｓ・ｂ 　　＝ａ／９＋２ｂ／３ （３） ＡＥ：ＥＢ＝ｕ：１－ｕ（０＜ｕ＜１）　とすると、 ＯＥ＝（１－ｕ）ａ＋ｕ／ｂ　・・・（か） 一方ＥはＯＰの延長線上にあるので ＯＥ＝ｖ・ＯＰ　（ｖは実数）　と表される。従って（２）の結果より ＯＥ＝ｖ・ａ／９＋２ｖ・ｂ／３　・・・（き） （か）と（き）は同じベクトルを表しているので、両者におけるａ，ｂの 係数は等しい。よって １－ｕ＝v/9 ｕ＝２ｖ／３ ｖ＝９／７、ｕ＝６／７ このｕの値よりＡＥ：EB＝６：１ （４） ∠ＡＯＢ＝直角なので、点Ｏをｘｙ平面の原点、点Ｂをｘ軸上、 点Ａをｙ軸上にとり、点ＡとＢの座標をそれぞれ（０、ｙ）および（ｘ、０） （ｘ＞０、ｙ＞０）とすると、ａおよびｂはそれぞれ（０、ｙ）および（ｘ、０）と 成分表示できる。 ベクトルＡＢ＝ｂ－ａ 　　　　　　　＝（ｘ、－ｙ）　・・・（く） また、上記の結果より ＯＥ＝ａ／７＋６ｂ／７ 　　　＝（６ｘ／７、ｙ／７）　・・・（け） ＯＰとＡＢが直交するのであればＯＥとＡＢも直交する。つまりＯＥとＡＢの 内積はゼロになるので（く）および（け）より内積を求めると ６ｘ＾２／７－ｙ＾２／７＝０ ６ｘ＾２＝ｙ＾２ これより ｙ＝√６ｘ よってＯＡ：ＯＢ＝√６：１　であり、三平方の定理より ＯＡ：ＯＢ：ＡＢ＝√６：１：√７

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

Cと⊿OABの関係が不明です。説明してください。

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