数学の問題です

質問

空間図形の問題です。

四面体OABCがある。
辺OA、AB、BC、OC上（いずれも端点をのぞく）にそれぞれ
OP；PA＝p;1-p
AQ；QB＝q;1-q
BR；RC＝1-r;r
CS；SO＝1-s;s

を満たす、点P、Q、R、Sを取る。

このとき、P、Q、R、Sが同一平面上にあれば、

（１／p -1）( 1/q - 1)= (1/r - 1)( 1/s -1) が成立することを示せ。

ここで、私は、

→OP＝α→OS＋β→OR＋γ→OQ（α＋β＋γ＝１ ）
= αs→OC＋β（r→OB＋（１－r）→OC ）＋γ（（１－q）→OA＋q→OB）
として、→OAと→OBと→OCでまとめて行こうと思ったのですが
うまくいきません。

お願いいたします。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

OP:PA=p:1-p
AQ:QB=q:1-p
BR:RC=1-r:r
CS:SO=1-s:s

→OA=a
→OB=b
→OC=c
とする。

→OP=pa
→OQ=→OA+→AQ=→OA+q→AB=→OA+q(→AO+→OB)=a+q(-a+b)=(1-q)a+qb
→OR=→OC+→CR=→OC+r→CB=→OC+r(→CO+→OB)=c+r(-c+b)=rb+(1-r)c
→OS=sc

P,Q,R,Sが同一平面状にあるということは、PQとRSは平行だということになる。

→PQ=→PO+→OQ=-pa+(1-q)a+qb=(1-p-q)a+qb
→RS=→RO+→OS=-rb-(1-r)c+sc=-rb-(1-r-s)c

これが平行だから、
1-p-q=0
1-r-s=0

(1/p-1)(1/q-1)={(1-p)/p}{(1-q)/q}=(1-p)(1-q)/(pq)=(1-p-q-pq)/pq=(0-pq)/pq=-1
同様に、
(1/r-1)(1/s-1)=-1

よって、
(1/p-1)(1/q-1)=(1/r-1)(1/s-1)

お礼

ありがとうございます。

この考えかた、ほんとうに参考になりました。

平行になるという条件を使って、係数比較をする方法のほうが
、α＋β＋γ＝１のやり方よりも早くできますからね・・・

大感謝です。

回答No.1

momordica

ベクトルを使って解くことを想定した問題のように見受けられるので、
期待されている解法とは違うかもしれませんが。

「メネラウスの定理」は御存じでしょうか。

平面上に三角形ABCと直線Lがあり、直線Lと３直線AB, BC, CAが
それぞれP, Q, Rで交わっている時、
　(AP/PB)*(BQ/QC)*(CR/RA)=1
が成り立つというものです。

この定理は次のように証明できます。

添付図左のように、三角形ABCと直線Lがあるとき、
頂点A, B, Cからそれぞれ直線Lに垂線AA', BB', CC'をおろします。
すると、△APA'と△BPB'は相似な三角形になりますから、
　AP:PB=AA':BB'
となります。同様に、△BQB'∽△CQC', △CRC'∽△ARA'より
　BQ:QC=BB':CC',　CR:RA=CC':AA'
が成り立ちます。したがって、
　(AP/PB)*(BQ/QC)*(CR/RA)
　　=(AA'/BB')*(BB'/CC')*(CC'/AA')
　　=1
となります。

実は、今回の問題は、この定理を二次元の三角形と直線の関係から、
三次元の四面体と平面の関係へ拡張したものになっています。

添付図右のように、四面体OABCと、それと交わる平面がある時、
頂点O, A, B, Cからそれぞれ平面に垂線OO', AA', BB', CC'をおろすと、
先程の平面の場合と同様、△OPO'∽△APA'となりますから、
　OP:PA=OO':AA'
となります。以下同様に、
　AQ:QB=AA':BB',　BR:RC=BB':CC',　CS:SO=CC':OO'
であることも言えますから、
　(OP/PA)*(AQ/QB)*(BR/RC)*(CS/SO)
　　=(OO'/AA')*(AA'/BB')*(BB'/CC')*(CC'/DD')
　　=1
となり、メネラウスの定理と同じような関係が成り立つことが分かります。

あとは、この式を変形して、
　(PA/OP)*(QB/AQ)=(BR/RC)*(CS/SO)
とすると、与えられた辺の比より、
　PA/OP=1/p-1,　QB/AQ=1/q-1,　BR/RC=1/r-1,　CS/SO=1/s-1
ですから、これらを代入すれば、
　(1/p-1)*(1/q-1)=(1/r-1)*(1/s-1)
が得られます。

ちなみにこの「３次元版メネラウスの定理」は空間図形の辺の比を
求めたりするとき、補助的な方法として役に立たないこともないので、
余裕があれば覚えておくと便利です。
ただし、もちろん正式に認められた「定理」というわけではないので、
そのまま証明に使ったりするのはやめてください。

お礼

丁寧な、回答ありがとうございます。

じっくり、考えてみます。