【至急！】空間ベクトルの問題

質問

正四面体ＡＢＣＤに対して、３点Ｏ、Ａ、Ｂと同じ平面状の点Ｐが３→ＯＰ＝２→ＡＰ＋→ＰＢを満たす。
→ＯＡ＝→a、→ＯＢ＝→ｂ、→ＯＣ＝→ｃとおくとき、以下の問いに答えよ。

△ＡＢＣの重心Ｇと点Ｐを結ぶ線分が、面ＯＢＣと交わる点をＱとする。→ＯＱを→a、→b、→cで表せ。

参考書なども見てみたんですが、いまいち分かりません。
解き方を教えてください！よろしくお願いします。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

ベクトル記号省略します。

3ＯＰ＝2ＡＰ+ＰＢ
　　　＝2（ＯＰ-ＯＡ）+ＯＢ-ＯＰ
　　　＝ＯＰ-2ＯＡ+ＯＢ
2ＯＰ＝-2ＯＡ+ＯＢ
ＯＰ＝-ＯＡ+1/2ＯＢ

点Ｇは△ＡＢＣの重心だから、
ＯＧ＝1/3ＯＡ+1/3ＯＢ+1/3ＯＣ

△ＯＧＰに注目。
線分ＧＰをｔ：1-ｔに内分する点をＱとすると、内分の公式より
ＯＱ＝ｔＯＰ+（1-ｔ）ＯＧ
　　＝-ｔＯＡ+ｔ/2ＯＢ+（1-ｔ）/3ＯＡ+（1-ｔ）/3ＯＢ+（1-ｔ）/3ＯＣ
　　＝（1/3-4ｔ/3）ＯＡ+（1/3+ｔ/6）ＯＢ+（1/3-ｔ/3）ＯＣ

点Ｑは平面ＯＢＣ上にあるから、ＯＡの係数について、
1/3-4ｔ/3＝0が成り立つ。
これより、ｔ＝1/4

これを上のＯＱ＝に代入すると、
∴ＯＱ＝3/8ＯＢ+1/4ＯＣ

ＯＡ＝a、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝ｃにそれぞれ置き換えてください。

お礼

ありがとうございました！
助かりました。

回答No.3

yyssaa

s,t,uをそれぞれ実数とする。
点Qは線分GP上にあるので、→OQ=→OP+s→PG・・・(1)
点Qは面OBC上にあるので、→OQ=t→b+u→c・・・(2)
が成り立つ。そこで、→OP、→PGを→a,→b,→cで
表すと
→AP=→OP-→OA=→OP-→a
→PB=→OB-→OP=→b-→OP
これを条件式に代入して
3→OP=2→AP+→PB=2→OP-2→a+→b-→OP=→OP-2→a+→bから
→OP=-→a+(1/2)→b、よって
→AP=→OP-→a=-2→a+(1/2)→b
→PB=→b-→OP=→a+(1/2)→b
重心の定義から点GはAからBCに下ろした垂線を2:1に内分する
ので、→AP+→PG=→AG=(2/3){→AB+(1/2)→BC}
=(2/3){→b-→a+(1/2)(→c-→b)}
=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b、よって
→PG=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b-→AP
=-(2/3)→a+(1/3)→c+(1/3)→b+2→a-(1/2)→b
=(4/3)→a+(1/3)→c-(1/6)→b
よって(1)は
→OQ=-→a+(1/2)→b+s{(4/3)→a+(1/3)→c-(1/6)→b}
=(4s/3-1)→a+(1/2-s/6)→b+(s/3)→c
→a、→b、→cの係数を(2)の右辺と比較して
(4s/3-1)=0、(1/2-s/6)=t、(s/3)=u
s=3/4からt=1/2-1/8=3/8、u=(3/4)/3=1/4
以上から→OQ=(3/8)→b+(1/4)→c・・・答え

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

ferien

＞正四面体ＡＢＣＤに対して、３点Ｏ、Ａ、Ｂと同じ平面状の点Ｐが３→ＯＰ＝２→ＡＰ＋→ＰＢを満たす。
＞ →ＯＡ＝→a、→ＯＢ＝→ｂ、→ＯＣ＝→ｃとおくとき、以下の問いに答えよ。
＞△ＡＢＣの重心Ｇと点Ｐを結ぶ線分が、面ＯＢＣと交わる点をＱとする。→ＯＱを→a、→b、→cで表せ。
正四面体ＯＡＢＣとします。

３ＯＰ＝２ＡＰ＋ＰＢより、
３ＯＰ＝２（ＯＰ－ＯＡ）＋（ＯＢ－ＯＰ）
２ＯＰ＝－２ＯＡ＋ＯＢ
ＯＰ＝－ＯＡ＋(1/2)ＯＢ＝－ａ＋(1/2)ｂ

△ＡＢＣで、ＢＣの中点をＭとすると、ＡＭ＝(1/2)ＡＢ＋(1/2)ＡＣより、
ＯＭ－ＯＡ＝(1/2)（ＯＢ－ＯＡ）＋(1/2)（ＯＣ－ＯＡ）
ＯＭ＝(1/2)（ｂーａ）＋(1/2)（ｃ－ａ）＋ａ
＝(1/2)ｂ＋(1/2)ｃ

△ＡＢＣの重心Ｇだから、
ＡＧ＝(2/3)ＡＭより、
ＯＧ－ＯＡ＝(2/3)（ＯＭ－ＯＡ）
ＯＧ＝(2/3)ＯＭ－(2/3)ＯＡ＋ＯＡ
＝(1/3)ａ＋(2/3)・｛(1/2)ｂ＋(1/2)ｃ｝
＝(1/3)ａ＋(1/3)ｂ＋(1/3)ｃ

△ＯＢＣで、ＯＱとＢＣの交点をＲとする。
ＢＲ：ＲＣ＝ｔ：（１－ｔ）とすると、
ＯＲ＝（１－ｔ）ＯＢ＋ｔＯＣ＝（１－ｔ）ｂ＋ｔｃ
Ｏ，Ｑ，Ｒは一直線上にあるから、ＯＱ＝ｋＯＲとおけるから、
ＯＱ＝ｋ｛（１－ｔ）ｂ＋ｔｃ｝
＝ｋ（１－ｔ）・ｂ＋ｋｔ・ｃ　……(1)

Ｇ，Ｐ，Ｑは、一直線上にあるから、ＧＱ＝ｍＧＰとおけるから、
ＯＱ－ＯＧ＝ｍＯＰ－ｍＯＧ
ＯＱ＝（１－ｍ）ＯＧ＋ｍＯＰ
＝（１－ｍ）・｛(1/3)ａ＋(1/3)ｂ＋(1/3)ｃ｝＋ｍ・｛－ａ＋(1/2)ｂ｝
＝｛1/3ー(4/3)ｍ｝ａ＋｛1/3＋(1/6)ｍ｝ｂ＋｛1/3－(1/3)ｍ｝ｃ　……(2)

(1)(2)を係数比較すると、
1/3ー(4/3)ｍ＝０，1/3＋(1/6)ｍ＝ｋ（１－ｔ），1/3－(1/3)ｍ＝ｋｔ
連立方程式で解くと、ｍ＝1/4，ｋ＝5/8，ｔ＝2/5
(1)か(2)に代入して、
よって、ＯＱ＝（3/8）ｂ＋(1/4)ｃ

計算を確認してみてください。
正四面体ＯＡＢＣとしましたが、問題が違っていたら教えてください。