三角関数の数列の問題について

質問

sinx(cosx+cos3x+cos5x+...........cos(2n-1)x)の解法を教えて下さい！

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．Eulerの公式がNGなら数学的帰納法でやっておきましょう．

n=1：sinxcosx=(1/2)sin(2x)
n=2：sinx(cosx+cos3x)=sinx(2cos2x)cosx=sinxcosx(2cos2x)=(1/2)sin2x(2cos2x)=sin(2x)cos(2x)=(1/2)sin(4x)

よって

（＊）sinxΣ_{k=1}^ncos(2k-1)x=(1/2)sin(2nx)

と推定できる．

（証明）
(1)n=1 のとき正しい．

(2)nのとき正しいと仮定する．

sinxΣ_{k=1}^ncos(2k-1)x=(1/2)sin(2nx)

両辺にsinxcos(2n+1)xを加えると

sinxΣ_{k=1}^{n+1}cos(2k-1)x=(1/2)sin(2nx)+sinxcos(2n+1)x

=(1/2)sin(2nx)+sinx(cos(2nx)cosx-sin(2nx)sinx)

=(1/2-sin^2x)sin(2nx)+sinxcosxcos(2nx)

=(1/2-(1-cos(2x))/2)sin(2nx)+sinxcosxcos(2nx)

=(1/2)cos(2x)sin(2nx)+(1/2)sin(2x)cos(2nx)

=(1/2){cos(2x)sin(2nx)+sin(2x)cos(2nx)}

=(1/2){sin(2nx)cos(2x)+cos(2nx)sin(2x)}

=(1/2)sin(2nx+2x)=(1/2)sin{2(n+1)x}

よってn+1のときも成り立つ．

(1),(2)よりすべての自然数に対して＊は成り立つ．（終）

お礼

ありがとうございました

回答No.1

ereserve67

Eulerの公式

e^{iθ}=cosθ+isinθ

を使います．複素数z=x+iyについてRe[z]=xと書きます．

(1)e^{i2x}≠1のとき2x≠2mπ，x≠mπ(m：整数)．

()内=Σ_{k=1}^ncos(2k-1)x=Re[Σ_{k=1}^ne^{i(2k-1)x}]

=Re[e^{ix}(e^{i2x})^n-1)/(e^{i2x}-1)]=Re[e^{ix}(e^{i2nx}-1)/(e^{i2x}-1)]

=Re[e^{ix}e^{inx}(e^{inx}-e^{-inx})/{e^{ix}(e^{ix}-e^{-ix})]

=Re[e^{inx}(e^{inx}-e^{-inx})/(e^{ix}-e^{-ix})]

=Re[e^{inx}(2isin(nx)/{2isin(x)}]

={sin(nx)/sin(x)}Re[e^{inx}]=sin(nx)cos(nx)/sin(x)

こうして

sin(x)Σ_{k=1}^ncos{(2k-1)x}=sin(nx)cos(nx)=(1/2)sin(2nx)

(2)e^{i2x}=1,x=mπ(m整数)のとき与えられた式は0である．これは(1)でも成り立つ．

sin(x)Σ_{k=1}^ncos{(2k-1)x}=sin(nx)cos(nx)=(1/2)sin(2nx)（答）

お礼

ありがとうございました