確率の基本

質問

確率の基本を”高校数学の基本問題”というサイトから学んでいるところです。
以下の問題ですが答えを出す事ができませんでした。

問）袋の中に赤玉が３個白玉が２個入っている．この中から同時に３個取り出すとき，赤玉２個白玉１個が出てくる確率を求めよ

答え）合計５個の玉から３個取り出す場合の総数は 5C3=10 通り
　赤玉２個白玉１個を取り出す場合の数は 3C2×2C1=6 通り
p=6/10=3/5
（Cの左右の数字は小さい数字です。）

わからないのは　5C3=10 と　3C2×2C1=6通り　というところです。
まずは総数の計算の仕方　5C3=10　を理解したいです。
私は配列方式でやってみたのですが時間がかかる上、間違えました（１０ではなく９となりました→
１２３，１２４，１２５，１３４，１３５，１４５，２３４，２３５，３４５）

よろしくお願いします

回答No.5

picknic · ベストアンサー

＞何故　3×2×1 = 6 通り　になるのかよくわからないので考えているところです。

これも順列だからです。
ABCの３つで考えてみましょう。
AとBとCの３つの順列は、
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
の6通りです。

これを計算で考えるとどうなるかというと
｛最初に持ってこれる種類｝×｛残りから持ってこれる種類｝×｛さらに残りから持ってこれる種類｝となっているのが読めますか？

つまり
｛最初はABCのどれでもいいから3種類｝×｛次は最初に選んだもの以外から一つ選ぶから2種｝×｛さらに残ったものから選べる1種｝
という計算をしているのと同じなのです。

赤白の話に戻します。
赤（A）赤（B）赤（C）となるとき、
色だけみれば組は一通りなんですが、
文字を見れば順列として上記の6通りになると思います。

お礼

picknicさん、詳しく説明して頂き有難うございました。
とても助かりました！

回答No.4

picknic

考えやすくするために
赤1
赤2
赤3
白4
白5
と各ボールに番号を振っておきます。

順列から考えてみましょう
5個のものから3個順に並べる場合
1番目に来れる玉の種類　5
2番目に来れる玉の種類　4
3番目に来れる玉の種類　3
となりますので、
総数は5×4×3 = 60通り
となります。

じゃあ次に組み合わせで考えます。
順列の60通りの中には、赤赤白,白赤赤などを区別して数えていますが、
組み合わせの場合は、これは同じと見なします。

じゃあどれだけダブルカウントしているかというと
3個のボールの並び替えの総数分ダブルカウントしていいることになります。
つまり3×2×1 = 6 通りです。

ですから、
順列組合せの数をダブルカウント数で割ってやれば組み合わせ数がでます。
(5×4×3)÷(3×2×1)　= 10　通り

組み合わせというのは順列からダブルカウント分で割ってやったものです。

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次に赤玉２個白玉１個の部分について考えます。

まず極論から行きますか。
赤玉3個となる場合だったらどのように考えるか。
これも順列基準（つまり総数は６０です）で考えましょう。
赤玉3個ですから番号でいうと｛１，２，３｝というもの並び替えの総数だけ場合の数があります。
つまり3×2×1 = 6 通りです。

ですから
赤玉3個になる確率は
{場合の数}/{総数}=6/60=1/10となります。

赤玉2個と白玉1個の場合は、
つまり
(1)赤赤白
(2)赤白赤
(3)白赤赤
の場合の数を求めます。
(1)の場合、{赤は3種類}×{赤は残り2種類}×{白は2種類}=３×２×２＝１２
(2)の場合、{赤は3種類}×{白は2種類}×{赤は残り2種類}=３×２×２＝１２
(3)の場合、{白は2種類}×{赤は3種類}×{赤は残り2種類}=２×３×２＝１２
となり場合の数は３６通り。

ですから赤玉2個と白玉1個となる確率は、
{場合の数}/{総数}=36/60=3/5となります。

じゃあ赤玉1個と白玉2個になる場合は、
つまり
(1)赤白白
(2)白赤白
(3)白白赤
の場合の数を求めます。
(1)の場合、{赤は3種類}×{白は2種類}×{白は残り1種類}=３×２×１＝６
(2)の場合、{白は2種類}×{赤は3種類}×{白は残り1種類}=２×３×１＝６
(3)の場合、{白は2種類}×{白は残り1種類}×{赤は3種類}=３×２×１＝６
となり場合の数は１８通り。

ですから赤玉１個と白玉２個となる確率は、
{場合の数}/{総数}=18/60=3/10となります。

場合の数の総数をみてみましょう。
６＋３６＋１８＝６０
取りこぼしなく数えきれていますね。

お礼

とても丁寧に説明して頂き有難うございます。
書いて頂いた事何回も読んで考え、ネットでも検索して調べたのですが

＞じゃあどれだけダブルカウントしているかというと
3個のボールの並び替えの総数分ダブルカウントしていいることになります。
つまり3×2×1 = 6 通りです。

今、ここでつまづいております。

順列が６０通りになる事やダブルカウントについては理解出来ます。　　が、何故　3×2×1 = 6 通り　になるのかよくわからないので考えているところです。
もう少し自分で考えてみてそれでもわからなかったら後で補足欄で再度質問させて頂くかもしれません。
とりあえずお礼が言いたかったので、、、有難うございました。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞１０ではなく９となりました→
＞１２３，１２４，１２５，１３４，１３５，１４５，２３４，２３５，３４５）

２４５が抜けてますね。

なので、場合の数の総数は１０です。

赤玉２、白球１になるのは、３個ある赤玉のうち２個を、２個ある赤玉のうち１個を取り出した時なので

３個中２個を取り出す場合の数×２個中１個を取り出す場合の数の

が、赤玉２、白球１になる場合の数です。

「３個中２個を取り出す場合の数」ってのは「３個から１個を残す場合の数」なので「３」です。

「２個中１個を取り出す場合の数」ってのは、考えるまでもなく「２」です。

なので、赤玉２、白球１になる場合の数は、３×２＝６です。

全部で１０通りある中で、６通りが「条件に合う数」なので、確率は６／１０、すなわち３／５です。

なお、ｎCrは、公式

n!／r!(n-r)!

で表されます。

「！」は階乗を現し、n!＝１×２×３×…×ｎを意味します。

５C3であれば

５!／(３!×(５-３)!)
＝５!／(３!×２!)
＝（１×２×３×４×５）／(１×２×３×１×２)
＝１２０／１２
＝１０

になります。

お礼

ご回答有難うございます。

＞「３個中２個を取り出す場合の数」ってのは「３個から１個を残す場合の数」なので「３」です。
ここらへんで既にわからなくて考えてたんですが何故３になるのか今やっとわかりました。
「３個から１個を残す場合の数」　←　こう考えるとわかりやすいですね。

n!／r!(n-r)!については初めて見ました。
もう少し理解するのに時間がかかると思いますが書いて頂いた事理解できるまでやっていきます！

回答No.2

yyssaa

２４５が無いですね。

お礼

有難うございます！

回答No.1

asuncion

＞私は配列方式でやってみたのですが時間がかかる上、間違えました（１０ではなく９となりました→
＞１２３，１２４，１２５，１３４，１３５，１４５，２３４，２３５，３４５）

数え上げ方式は基本のやり方です。
基礎を理解するための方法として、たいへんよいと思います。
２４５
が抜けていますね。

お礼

>たいへんよいと思います

こちらのサイトで初めて褒められました。
何だかとても嬉しくなってしまいました、有難うございました。