不規則変数の説明

質問

不規則変数を加算した不規則変数の分散（パワー）は、元の加算回数倍となるため、
確率変数 ｘ を１２回加算した新しい不規則変数 ｙ の平均は、６、分散は、１となる。
Ｅ［ y ］ ＝ １２ Ｅ[ ｘ ] ＝ ６、 σｙ ＝ １ （σｙ ＝ １：標準偏差）

こんなのを説明するには、何をポイントに説明したらよいでしょうか
不規則変数っていうのはランダムな変数ということでしょうか？
また確率変数を１２回加算して、なぜｙの平均は６になり分散が１になるのでしょうか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> [一様分布乱数 ｘ （０～１）が ｐ（ｘ）＝１ （ｘ＝０～１）　である時]


　やっぱりそうだったんですね。これが決定的に重要な部分だ、という最も基本的な事がお分かりでないようです。
　まず、基礎の理解(微積分や順列組み合わせ)を十分かためた上で、確率論の勉強を基礎から始めると良いと思います。

　なので以下は蛇足。

　確率変数x[k]が 0から1の一様分布に従うということなら、確率密度関数φ(x)は具体的に
φ(x) = (0≦x≦1 のとき1、さもなくば0)
と決まり、平均mと分散σ^2は
　　m = ∫{x=-∞～∞}xφ(x)dx = ∫{x=0～1}xdx = 1/2
　　σ^2 = ∫{x=-∞～∞}((x-m[k])^2)φ(x)dx = ∫{x=0～1}((x-1/2)^2)dx = 1/6
です。

　このような、平均mと分散σ^2が存在する確率密度関数に従う、それぞれ独立な確率変数x[k] (k=1,2,…,N)の和
　　y = Σ{k=1～N} x[k]
の平均Mと分散S^2は
　　M = Σ{k=1～N} m[k] = N m[1]
　　S^2 = Σ{k=1～N}(σ^2) = N(σ^2 )
となります。
　なぜそうなるかというと、
　　平均m[f], 分散σ[f]^2の確率密度関数f(x)
　　∀x(x∈R → f(x)≧0)
　　∫{x=-∞～∞}f(x) dx =1
　　∫{x=-∞～∞}xf(x) dx = m[f]
　　∫{x=-∞～∞}((x-m[f])^2)f(x) dx = σ[f]^2
に従う確率変数x1と、平均m[g], 分散σ[g]^2の確率密度関数g(x)（gについてもfと同様）に従う確率変数x2とが互いに独立であるとき、それらの和(x1 + x2)が従う確率密度関数h(x)は、（「x2がt～t+Δtの範囲の値であり、x1+x2がx+Δxの範囲の値である、ということが生じる確率を、すべてのtについて総計したもの」において、Δt→0, Δx→0としたものに他ならず、従って）
　　h(x) = ∫{t=-∞～∞}f(x-t)g(t)dt
で表される。このとき、
　　∀x(x∈R → h(x)≧0)
　　∫{x=-∞～∞}h(x) dx = ∫{t=-∞～∞}(∫{x=-∞～∞}f(x-t) dx )g(t)dt = ∫{t=-∞～∞}g(t)dt = 1
であるから、hは確かに確率密度関数である。（積分の順序が交換できることが、これが成立つための条件という訳です。以下も同様。）
　hの平均をm[h]、分散をσ[h]^2とすると、
　　m[h] = ∫{x=-∞～∞}xh(x)dx
　　= ∫{t=-∞～∞}(∫{x=-∞～∞}xf(x-t)dx ) g(t)dt
　　= m[f] + m[g]

　　σ[h]^2 = ∫{x=-∞～∞}((x-m[h])^2)h(x)dx
　　= ∫{t=-∞～∞}(∫{x=-∞～∞}((x-m[h])^2)f(x-t)dx )g(t)dt
　　= σ[f]^2 + σ[g]^2

お礼

ご回答ありがとうございます。次は質問文に大切なことはしっかり書きたいと思います。色々とお世話になりました

回答No.3

alice_44

ポイントは、説明する前に貴方自身が
最小限の基本事項を理解すること
ではないかと思います。
まずは、教科書を読むことです。
手元になければ、図書館か書店に行きましょう。

回答No.2

stomachman

ANo.1への補足についてです。

> 確率変数xの確率密度関数p(x)は∫p(x)dx＝1で定義される。は関係ないでしょうか？

　どんな関数p(x)も、それが確率密度関数であるためには ∫{x=-∞～∞}p(x)dx＝1 を満たさねばなりません。だから、それは定義ではありません。


> またcや色々の変数が出ていますが何か用語があるのですか？

　「色々の変数」？　[i]は番号に過ぎない。φは正規分布の確率密度関数で、xとyとt以外は全部定数です。


> これを見てあまり理解できない感じがします。

　ご質問の１行目が誤りなのは、「互いに独立な不規則変数同士の可算をする」という条件が欠けているためです。また、2行目と3行目の記述は不規則変数全般が従う性質ではないので誤り。
　このことから推測しますに、おそらく、お考えの不規則変数xが従う分布についての条件が、ご質問からすっぽり抜け落ちているのでしょう。たとえば、「不規則変数xは0～1の一様分布に従う」などの決定的に重要な条件が抜けていませんか？
　もし、なにかの本を参照なさっているのなら、ご質問の前後にどんなことが書いてあるかを書き出して下さい。

　また、「何をポイントに説明したらよいでしょうか」というのがご質問ですが、一体どんな人に向けて何の目的で説明なさるのか、ということに依ります。たとえば「中学生にナントナク雰囲気を感じさせるため」なのか、「実務家が乱数を使ったシミュレーションを行うため」なのかで全然説明が違うでしょう。

補足

考えというか質問に出てない文確かにありました。
[一様分布乱数 ｘ （０～１）が ｐ（ｘ）＝１ （ｘ＝０～１）　である時]
です。本などは参照していませんが、全く関係ないのを問題に出されたので質問してみたところです。
＞　一体どんな人に向けて何の目的で説明なさるのか、ということに依ります。
基本的には誰でもわかるように、という基本的なことを説明したいと思っています。たびたび失礼します

回答No.1

stomachman

確率変数は「その値がある確率分布に従う」という以外に一切の規則性を持たないもの。「不規則変数」も同じ意味で言いますね。

　不規則変数xを12回足し算した答は12xであって、当然、平均はxの平均の12倍、標準偏差もxの標準偏差の12倍（つまり、分散は144倍）になります。（ご質問の最初の3行は、意味不明の変な計算です。）

　さて、互いに独立なN個の不規則変数x[i](i=1,2,…,N)がそれぞれ正規分布(平均m[i], 分散σ[i]^2)に従うとき（「互いに独立な」というのが重要な所です！）、これらに重みc[i]を掛けて足したもの
　　y = c[1]x[1]+c[2]x[2]+…+c[N]x[N]
もまた正規分布に従う不規則変数であって、その平均mと分散σ^2は
　　m = c[1]m[1]+c[2]m[2]+…+c[N]m[N]
　　σ^2 = (c[1]σ[1])^2+(c[2]σ[2])^2+…+(c[N]σ[N])^2
になります。特に、c[i]がどれも1で、m[i]がどれも同じ値μ、σ[i]^2もどれも同じ値s^2である場合なら、
　　m = Nμ
　　σ^2 = N(s^2)
です。

　この結果は、正規分布の確率密度関数φ(m[i],σ[i]^2,x)が持つ性質に由来しています。すなわち(「ポイント」も何も）、畳み込み積分(convolution):
　　∫{t=-∞～∞} φ(m[i],σ[i]^2,x-t)φ(m[j],σ[j]^2,t)dt
がφ(m[i]+m[j],(σ[i]^2)+(σ[j]^2),x)になる、という計算を示さないと、説明になりません。

補足

確率変数xの確率密度関数p(x)は∫p(x)dx＝1で定義される。は関係ないでしょうか？
またcや色々の変数が出ていますが何か用語があるのですか？
これを見てあまり理解できない感じがします。