統計学の問題

質問

すみません、意味がわかりません。よろしくご指導お願いいたします。

n 個のデータからなる変数 {x : x1,x2,...,xn} について，定数 a と b を用いて，以下のよ うに新しく{y : y1,y2,...,yn}という変数をつくりました． yi = axi + b (a ̸= 0)
(1) y の平均，分散，標準偏差を，x の平均，分散，標準偏差を用いて表しなさい．導出過 程（計算式）も示すこと．
(2) １．で用いたデータを x とし，a，b を適当に決めて新しい変数 y を作り，その平均， 分散，標準偏差を算出して (1) の結果に一致することを確かめなさい．ただし，a = 1 と b = 0 は反則です．この課題には表計算ソフト等を用いても構いません．

回答No.1

kiha181-tubasa

テキスト文書で使える文字に限度があるので
xの平均をm(x)，yの平均をm(y)，xの標準偏差をσ(x)，yの標準偏差をσ(y)で表記することにします。
標準偏差は分散の平方根なので，分散はそれぞれσ(x)^2，σ(y)^2となります。

m(y)=1/nΣ(k=1,k=n)(axk+b)=1/n(Σ(k=1,k=n)axk+Σ(k=1,k=n)b)
=a(1/n)Σ(k=1,k=n)xk+(1/n)nb=am(x)+b……yの平均(1)

Σの記法に不慣れならば以下の説明もあります。
m(y)=｛(ax1+b)+(ax2+b)+……(axn+b)｝*(1/n)
=｛(ax1+ax2+……+axn)+(b+b……+b)｝*(1/n)
=｛a(x1+x2+……+xn)+(b+b……+b)｝*(1/n)
=a(x1+x2+……+xn)*(1/n)+(b+b……+b)*(1/n)　　　（bがn個ある）
=a(x1+x2+……+xn)*(1/n)+(nb)*(1/n)
=am(x)+b

σ(x)^2=1/nΣ(k=1,k=n)(xk-m(x))^2　　（xの分散：平均との差の２乗の平均）

σ(y)^2=1/nΣ(k=1,k=n)(yk-m(y))^2　　（yの分散：平均との差の２乗の平均）
=1/nΣ(k=1,k=n)(axk+b-(am(x)+b))^2　　（(1)のm(y)=am(x)+b）
=1/nΣ(k=1,k=n)(axk-am(x))^2　　　　　（引き算でbが消去された）
=1/nΣ(k=1,k=n)(a(xk-m(x))^2
=1/nΣ(k=1,k=n)(a^2(xk-m(x)^2)
=a^2(1/n)Σ(k=1,k=n)(xk-m(x)^2)
=a^2*σ(x)^2　　　　　　　　　　　　　（つまりxの分散をa^2倍したもの）

標準偏差は，分散の平方根ですから
σ(y)=a*σ(x)
となります。

(2)は適当なデーター（例えば３０人ぐらいのテストの得点一覧表）を使って，平均や分散や標準偏差を計算し，a=0.8,b=20（つまり下駄をはかせる作業）などとして具体的に計算してみましょうという課題だと思います。

お礼

早速のご回答、ありがとうございます