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統計学の問題

すみません、意味がわかりません。よろしくご指導お願いいたします。 n 個のデータからなる変数 {x : x1,x2,...,xn} について,定数 a と b を用いて,以下のよ うに新しく{y : y1,y2,...,yn}という変数をつくりました. yi = axi + b (a ̸= 0) (1) y の平均,分散,標準偏差を,x の平均,分散,標準偏差を用いて表しなさい.導出過 程(計算式)も示すこと. (2) 1.で用いたデータを x とし,a,b を適当に決めて新しい変数 y を作り,その平均, 分散,標準偏差を算出して (1) の結果に一致することを確かめなさい.ただし,a = 1 と b = 0 は反則です.この課題には表計算ソフト等を用いても構いません.

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  • 回答No.1

テキスト文書で使える文字に限度があるので xの平均をm(x),yの平均をm(y),xの標準偏差をσ(x),yの標準偏差をσ(y)で表記することにします。 標準偏差は分散の平方根なので,分散はそれぞれσ(x)^2,σ(y)^2となります。 m(y)=1/nΣ(k=1,k=n)(axk+b)=1/n(Σ(k=1,k=n)axk+Σ(k=1,k=n)b) =a(1/n)Σ(k=1,k=n)xk+(1/n)nb=am(x)+b……yの平均(1) Σの記法に不慣れならば以下の説明もあります。 m(y)={(ax1+b)+(ax2+b)+……(axn+b)}*(1/n) ={(ax1+ax2+……+axn)+(b+b……+b)}*(1/n) ={a(x1+x2+……+xn)+(b+b……+b)}*(1/n) =a(x1+x2+……+xn)*(1/n)+(b+b……+b)*(1/n)   (bがn個ある) =a(x1+x2+……+xn)*(1/n)+(nb)*(1/n) =am(x)+b σ(x)^2=1/nΣ(k=1,k=n)(xk-m(x))^2  (xの分散:平均との差の2乗の平均) σ(y)^2=1/nΣ(k=1,k=n)(yk-m(y))^2  (yの分散:平均との差の2乗の平均) =1/nΣ(k=1,k=n)(axk+b-(am(x)+b))^2  ((1)のm(y)=am(x)+b) =1/nΣ(k=1,k=n)(axk-am(x))^2     (引き算でbが消去された) =1/nΣ(k=1,k=n)(a(xk-m(x))^2 =1/nΣ(k=1,k=n)(a^2(xk-m(x)^2) =a^2(1/n)Σ(k=1,k=n)(xk-m(x)^2) =a^2*σ(x)^2             (つまりxの分散をa^2倍したもの) 標準偏差は,分散の平方根ですから σ(y)=a*σ(x) となります。 (2)は適当なデーター(例えば30人ぐらいのテストの得点一覧表)を使って,平均や分散や標準偏差を計算し,a=0.8,b=20(つまり下駄をはかせる作業)などとして具体的に計算してみましょうという課題だと思います。

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