統計 課題

質問

統計の課題でどうしても解けない問題があって困っています。教えてください。

問題：　次の定理を証明しなさい

X=｛x1～xn｝のデータを、変数変換でもう一つのYのデータにすると
平均、分散、標準偏差が次のようになる。これを証明せよ。

平均　　　　（Yの平均）＝｛（Xの平均）-a｝/b　　　　　a,bは定数　b≠0
分散　　　　Sy２乗＝Sx２乗/b２乗
標準偏差　Yj=(Xj-a)/b 　　　　 (j=1・・・n)

よろしくお願いします。

回答No.1

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

どの段階から説明してよいか不明ですが・・

変数変換というときは，まず，どういう風に変換すると，という定義から書かないと・・・

とりあず，平均と分散の性質を使うと，

確率変数Xの平均をE(X), 分散をV(X), とする。
A, Bを定数として，　Y = AX + B という変換を考える。

E(Y) = E(AX + B)
　　= A*E(X) + B

V(Y) = V(AX + B)
　　= A^2*V(X)

だから，

A = 1/b
B = -a/b

と置くと

E(Y) = (1/b)*E(X) + (-a/b)
　　 = {E(X) - a}/b

E(Y): Yの平均
E(X): Xの平均

V(Y) = (1/b)^2*V(X)

V(Y): Yの分散(Sy^2と書いても良い）
V(X): Xの分散(Sx^2と書いても良い）

最後の
標準偏差　Yj=(Xj-a)/b
は，変ですね。

標準偏差 = root(分散)
ですから，

Yの標準偏差 = √{(1/b)^2*V(X)}
　　　　= (1/b)*Xの標準偏差
です。

似たものとして，標準正規分布，ならあります。

Xが，平均a 標準偏差b の正規分布N(a, b^2)に従うとき，
Y＝(X-a)/b
とすると,
Yは，N(0,1)の標準正規分布に従う。